[論文レビュー] Multifraction reduction I: The 3-Ore case and Artin-Tits groups of type FC

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3-Ore条件——Artin-Tits群の型FCを特徴付ける——の下で、多分数還元と呼ばれる収束する書き換え系を構築することにより、Artin-Tits群およびより一般的なgcdモノイドにおける語問題を解くための新しい代数的アプローチを提示する。この条件下で、すべての群元が一意的な正規形として多分数として表現可能であり、普遍的なvan Kampen図形の形状を持つ、新たな代数的・内挿的解法が得られる。

ABSTRACT

We describe a new approach to the Word Problem for Artin-Tits groups and, more generally, for the enveloping group U(M) of a monoid M in which any two elements admit a greatest common divisor. The method relies on a rewrite system R(M) that extends free reduction for free groups. Here we show that, if M satisfies what we call the 3-Ore condition about common multiples, what corresponds to type FC in the case of Artin-Tits monoids, then the system R(M) is convergent. Under this assumption, we obtain a unique representation result for the elements of U(M), extending Ore's theorem for groups of fractions and leading to a solution of the Word Problem of a new type. We also show that there exist universal shapes for the van Kampen diagrams of the words representing 1.

研究の動機と目的

• gcdモノイドの包合群およびArtin-Tits群の語問題を、新しい書き換え系を用いて解くこと。
• 3-Ore条件を満たすモノイドにおける高階の多分数へのOreの古典的分数表現の一意性の一般化。
• Garside群における標準的既約分数形を一般化する包合群の要素の正規形の確立。
• 単位元を表す語のvan Kampen図形に対して、普遍的な形状が存在することの証明。
• 本手法が適用可能なArtin-Titsモノイドを正確に特徴付けること。

提案手法

• 符号が交互に並ぶモノイド元の列である多分数上で作用する書き換え系 $\mathcal{R}_M$ を導入し、自由還元を拡張する。
• gcdモノイドの代数的構造を適切に扱い、還元ステップが一意に定義されるように、修正された系 $\widehat{\mathcal{R}}_M$ を定義する。
• 3-Ore条件の下で $\mathcal{R}_M$ の局所的合流性を証明し、臨界対の補題を用いて収束性を導く。
• 収束性を用いて、$\mathcal{U}(M)$ のすべての要素に対して一意な既約多分数代表元の存在を確立し、Oreの定理を一般化する。
• Artin-Titsモノイドに理論を適用し、3-Ore条件が型FCであることと同値であることを示す。
• 有限部分集合 $I \subseteq \SS$ に対してGarside元 $\Delta_I$ の存在を活用し、一般化された共通倍数の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gcdモノイドの包合群に対して、自由還元を一般化する収束する書き換え系を構築できるか？
• RQ2 多分数還元が群元に対して一意な正規形をもたらすための条件は何か？
• RQ3 本手法が適用可能なArtin-Titsモノイドの正確な代数的特徴づけは何か？
• RQ4 単位元を表す語のvan Kampen図形は、この還元系の下で普遍的な形状を持つだろうか？
• RQ5 新しい正規形と、Artin-Tits群における既存の幾何的または組合せ的正規形との間に、関係があるだろうか？

主な発見

• 多分数還元系 $\mathcal{R}_M$ が収束するための必要十分条件は、モノイド $M$ が3-Ore条件を満たすことである。
• 包合群 $\mathcal{U}(M)$ のすべての要素は、特定の互いに素性および非整除条件を満たす多分数 $a_1 a_2^{-1} a_3 \cdots a_n^{\pm 1}$ として一意に表現可能である。
• Artin-Titsモノイドでは、3-Ore条件が成り立つための必要十分条件は、群が型FCであることである。
• モノイド $M$ が長さを保存する関係を持つ有限提示を持つとき、$\mathcal{U}(M)$ の語問題は決定可能である。
• 普遍的な還元戦略の存在から、単位元を表すすべてのvan Kampen図形が普遍的な形状を持つことが導かれる。
• 本手法は、geodesic正規形の完全に代数的な構成を提供し、Niblo–ReevesのCAT(0)複体と関連する可能性を秘めている。