[論文レビュー] Multigraded Factorial Rings and Fano varieties with torus action

Juergen Hausen, Elaine Herppich+1 more|Research Explorer (The University of Manchester)|Oct 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Fano多様体が複雑性1のトーラス作用と自由な除集合群を備える場合、そのコックス環を多重次数付きファクタリアル代数として特徴づけることにより、次元とピック・インデックスに基づく変形型の明示的上限を導出し、分類リストを提示する。15個の非トーリックな曲面（ピック・インデックス ≤6）、116個の3次元多様体（インデックス ≤2）、67個の4次元多様体（局所的にファクタリアル）を分類し、すべてのコックス環を明示的に計算している。

ABSTRACT

In a first result, we describe all finitely generated factorial algebras over an algebraically closed field of characteristic zero that come with an effective multigrading of complexity one by means of generators and relations. This enables us to construct systematically varieties with free divisor class group and a complexity one torus action via their Cox rings. For the Fano varieties of this type that have a free divisor class group of rank one, we provide explicit bounds for the number of possible deformation types depending on the dimension and the index of the Picard group in the divisor class group. As a consequence, one can produce classification lists for fixed dimension and Picard index. We carry this out expemplarily in the following cases. There are 15 non-toric surfaces with Picard index at most six. Moreover, there are 116 non-toric threefolds with Picard index at most two; nine of them are locally factorial, i.e. of Picard index one, and among these one is smooth, six have canonical singularities and two have non-canonical singularities. Finally, there are 67 non-toric locally factorial fourfolds and two one-dimensional families of non-toric locally factorial fourfolds. In all cases, we list the Cox rings explicitly.

研究の動機と目的

• 複雑性1のトーラス作用と自由な除集合群を備えるFano多様体を、そのコックス環を用いて分類すること。
• 有効な複雑性1の多重次数付きの、すべての有限生成ファクタリアル代数を特定すること。
• 次元とピック・インデックスに基づき、このようなFano多様体の変形型の数に明示的な上限を与えること。
• 固定された次元とピック・インデックスに対して分類リストを構築し、明示的なコックス環の記述を含めること。

提案手法

• 生成子と関係式を用いて、有効な複雑性1の多重次数付きのすべての有限生成ファクタリアル ${\mathbb{K}}$-代数を特徴づける。
• アドミッサブルな三つ組 $(A,\mathfrak{n},L)$ から代数 $R(A,\mathfrak{n},L)$ を構成する。ここで $A$ は ${\mathbb{K}}^2$ 内のベクトルの列、$\mathfrak{n}$ は正の整数の列、$L$ は正の整数の族である。
• 三項式 $g_{i,j,k} = \alpha_{jk}f_i + \alpha_{ki}f_j + \alpha_{ij}f_k$ を $\alpha_{ij} = \det(a_i,a_j)$ で定義し、商環 $R(A,\mathfrak{n},L) = {\mathbb{K}}[T_{ij}]/\langle g_{i,i+1,i+2}\rangle$ を形成する。
• 除集合のファンと多面体的除集合の分解を用いて、コックス環から多様体を再構成する。
• Fano多様体に対してコックス環の構成を適用し、$\operatorname{Cl}(X) \cong \mathbb{Z}$ の場合、その環がファクタリアルであり、複雑性1の次数付き構造を持つことを利用する。
• 数 $\leq \mu$ 以下の素数の数に関する上限を用いて、固定された次元とピック・インデックスに対する変形型の数の明示的上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効な複雑性1の多重次数付きで $R_0 = {\mathbb{K}}$ を満たすすべての有限生成ファクタリアル ${\mathbb{K}}$-代数は何か？
• RQ2 これらの代数のうち、どのものが複雑性1のトーラス作用と自由な除集合群を備えるFano多様体のコックス環として現れるか？
• RQ3 固定された $d$ と $\mu$ に対して、複雑性1のトーラス作用とピック・インデックス $\mu$ を備える $d$ 次元Fano多様体の変形型はいくつ存在するか？
• RQ4 このようなFano多様体に対して明示的な分類リストを生成できるか？また、それらのコックス環は何か？

主な発見

• ピック・インデックスが6以下の非トーリック曲面はちょうど15個存在する。
• ピック・インデックスが2以下の非トーリック3次元多様体は116個存在し、そのうち9個は局所的にファクタリアル（1つは滑らか、6つは canonical 特異点、2つは非正規特異点をもつ）。
• 非トーリックで局所的にファクタリアルな4次元多様体は67個存在し、さらに2つの1次元族のこのような多様体が存在する。
• 固定された $d$ に対して、複雑性1のトーラス作用とピック・インデックス $\mu$ を備える $d$ 次元Fano多様体の変形型の数は、$\xi(\mu)$ で抑えられる。ここで $\xi(\mu)$ は $\mu$ 以下の素数の数である。
• 分類されたFano多様体のすべてのコックス環が論文内で明示的にリストアップされている。
• 分類は、アドミッサブル条件の下で $R(A,\mathfrak{n},L)$ またはその多項式拡張としてコックス環を特定することによって達成されている。