[論文レビュー] Multigraded regularity: syzygies and fat points

Jessica Sidman, Adam Van Tuyl|arXiv (Cornell University)|May 13, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 20被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、複素数次元の射影空間の積における重み付き点スキームの座標環について、2つの多重次数付き正則性の定義——合成関係に基づくものと、局所コhomologyに基づくもの——の関係を確立する。重み付き点スキームの分解正則性ベクトルが、その射影のキャステルヌオ・ムーマード正則性のタプルに等しいことを証明し、このベクトルが局所コhomologyに基づく正則性集合の部分集合を生成することを示し、算術的にコhen＝マカウール条件を満たす場合には等しくなることを示している。

ABSTRACT

The Castelnuovo-Mumford regularity of a graded ring is an important invariant in computational commutative algebra, and there is increasing interest in multigraded generalizations. We study connections between two recent definitions of multigraded regularity with a view towards a better understanding of the multigraded Hilbert function of fat point schemes in P^{n_1} x ... x P^{n_k}.

研究の動機と目的

• 最近提案された2つの多重量付き正則性の定義——1つは合成関係の次数に基づくもの、もう1つは局所コホモロジーの消滅に基づくもの——を比較・関係づけること。
• 多重量付きヒルベルト関数を、$\mathbb{P}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{n_k}$ 内の重み付き点スキームの観点から理解すること。
• 重み付き点スキームの多重量付きヒルベルト関数の成長に関する定量的境界を確立すること。
• 合成関係に基づく正則性ベクトルと、局所コホモロジーに基づく正則性集合が一致する条件を特定すること。

提案手法

• 有限生成な $\mathbb{Z}^k$-重み付き加群 $M$ の多重量付き合成関係モジュールの生成子の次数に基づき、分解正則性ベクトル $\underline{r}(M) \in \mathbb{N}^k$ を定義する。
• 局所コホモロジーに基づく多重量付き正則性 $\operatorname{reg}_B(M)$ を、すべての $i$ および $\mathbf{p}$ に対して $H_B^i(M)_\mathbf{p} = 0$ となる次数の集合として定義する。
• $\underline{r}(R/I_Z) = (r_1, \ldots, r_k)$ を証明し、ここで $r_i = \operatorname{reg}(\pi_i(Z))$ であり、$\pi_i(Z) \subseteq \mathbb{P}^{n_i}$ は $Z$ の $\mathbb{P}^{n_i}$ への射影である。これにより、分解正則性が一様正則性に結びつく。
• $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k \subseteq \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ を示し、合成関係に基づく正則性からの以前の境界を強化する。
• 短い完全系列におけるモジュールの正則性集合の包含関係を導くために、局所コホモロジーの長完全系列の修正版を適用する。
• 多重量付き分解の構造と、ほぼ正則列の概念を用いて、$M$ が次数 $\mathbf{0}$ で生成される場合の $\underline{r}(M)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多射影空間内の重み付き点スキームの文脈において、合成関係に基づく多重量付き正則性と、局所コホモロジーに基づく多重量付き正則性の定義はどのように関係するか？
• RQ2 重み付き点スキーム $Z$ に対して、分解正則性ベクトル $\underline{r}(R/I_Z)$ と局所コホモロジーに基づく正則性集合 $\operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ の正確な関係は何か？
• RQ3 分解正則性ベクトルを用いて、重み付き点スキームの多重量付きヒルベルト関数を境界づけることは可能か？ また、その最終的な成長様式は何か？
• RQ4 いつ $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k = \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ が成り立つか？
• RQ5 スキーム $Z$ の座標環の正則性は、各 $\mathbb{P}^{n_i}$ 要素への射影の正則性とどのように関係するか？

主な発見

• 重み付き点スキーム $Z \subseteq \mathbb{P}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{n_k}$ の座標環の分解正則性ベクトルは、$\underline{r}(R/I_Z) = (\operatorname{reg}(\pi_1(Z)), \ldots, \operatorname{reg}(\pi_k(Z)))$ で与えられ、ここで $\pi_i(Z)$ は $Z$ を $\mathbb{P}^{n_i}$ に射影したものである。
• 集合 $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k$ は、局所コホモロジーに基づく正則性集合 $\operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ に含まれる。これは、合成関係に基づく正則性からの以前の境界を改善するものである。
• $Z$ が算術的にコhen＝マカウールであるとき、等式 $\underline{r}(R/I_Z) + \mathbb{N}^k = \operatorname{reg}_B(R/I_Z)$ が成り立ち、この場合、分解正則性ベクトルが正則性集合を完全に決定することを示している。
• $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の重み付き点スキームの多重量付きヒルベルト関数 $\mathcal{H}_Z(i,j)$ は、最終的に $Z$ の次数に等しい定数値に安定し、すべての $(i,j)$ に対して $i+j \geq \max\{m-1, 2m_1 - 2\}$ の範囲で達成される。ここで $m_1$ は最大重複度である。
• $Z \subseteq \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ で、重複度 $m_1 \geq \cdots \geq m_s$ の $s$ 個の点を持つとき、ヒルベルト関数は $H_Z(\ell) \leq \sum_{i=1}^s \binom{m_i+1}{2} \ell + \text{lower-order terms}$ を満たし、安定領域では等号が成り立つ。
• 証明により、すべての $(i,j)$ に対して $i+j = \ell$ かつ $i,j \geq m_1 - 1$ のとき、$\mathcal{H}_Z(i,j)$ がその最終的成長値に等しくなることが示され、ヒルベルト関数が安定領域で一様に安定することが確認された。