[論文レビュー] Multigrid algorithms for $hp$-version Interior Penalty Discontinuous Galerkin methods on polygonal and polyhedral meshes

Paola F. Antonietti, Paul Houston+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多角形および多面体メッシュ上での$hp$バージョン対称内部罰則不連続ガラーキン（IPDG）法に対して、二レベルおよびWサイクル multigrid スolver を開発し、分析している。本手法は幾何的集合化を用いて、任意の形状を持つ要素から直接粗めグリッドを構築する。これにより、十分なスムージングステップ数が確保されれば、メッシュサイズ、多項式次数$p$、レベル数に関して一様収束が達成可能であり、数値結果では固定のスムージングステップ数でも実用的な収束が確認されている。

ABSTRACT

In this paper we analyze the convergence properties of two-level and W-cycle multigrid solvers for the numerical solution of the linear system of equations arising from hp-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin discretizations of second-order elliptic partial differential equations on polygonal/polyhedral meshes. We prove that the two-level method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large. An analogous result is obtained for the W-cycle multigrid algorithm, which is proved to be uniformly convergent with respect to the mesh size, the polynomial approximation degree, and the number of levels, provided the number of smoothing steps is chosen sufficiently large. Numerical experiments are presented which underpin the theoretical predictions; moreover, the proposed theoretical assumptions are not fully satisfied.

研究の動機と目的

• 一般の多角形および多面体メッシュ上での$hp$バージョン内部罰則不連続ガラーキン法に対する効率的な反復型スolverの開発。
• メッシュの細分化および多項式次数の変化に応じた二レベルおよびWサイクル multigrid アルゴリズムの収束特性の分析。
• スムージングステップ数が十分に大きい限り、メッシュサイズ、多項式次数$p$、レベル数に関して一様収束が達成可能であることを示すこと。
• 複雑なメッシュ上での数値実験を通じて理論的考察を検証すること。
• 理論的要件である多項式次数$p$に応じたスムージングステップ数の増加を緩和しても、実用的な収束が達成可能であることを示すこと。

提案手法

• multigrid スolver は、元の多角形／多面体メッシュから直接粗めグリッドを構築するための幾何的集合化を用いて構築され、DG法の柔軟性を保っている。
• 粗めグリッドの作用素は、細かいグリッドの離散問題から代数的に定義され、適合有限要素空間の必要性を回避している。
• スムージングは、$m$回の前および後続スムージングステップを伴うリチャードソンスムージングを用い、$m$は多項式次数$p$に依存する。
• 二レベル法はエネルギーノルムの推定と補間作用素を用いて分析され、集合化された要素の形状正則性がやや緩い仮定のもとで一様収束が証明された。
• Wサイクルアルゴリズムは、$m$が十分に大きい限り、メッシュサイズ、$p$、レベル数に関して一様収束することが証明された。
• 集合化戦略には最大独立集合、最大重み付きマッチング、およびグリーディ集約が含まれ、これらはすべて行列構造に対して代数的に適用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多角形／多面体メッシュ上での$hp$-IPDGに対して、二レベル multigrid スolver はメッシュサイズおよび多項式次数$p$に関して一様収束を達成できるか？
• RQ2 Wサイクル multigrid 法は、レベル数が増加しても、十分なスムージングステップ数が確保されていれば一様収束を維持するか？
• RQ3 高次DG離散化において、代数的集合化に基づく multigrid 法の性能は幾何的集合化と比べてどうか？
• RQ4 理論的に多項式次数$p$に応じてスムージングステップ数を増やす必要があるが、実際にはその要件を緩和しても収束が失われないか？
• RQ5 幾何的情報は、高次DG問題における集合化ベース multigrid スolver の収束にどのような役割を果たすか？

主な発見

• スムージングステップ数が十分に大きい限り、二レベル multigrid スolver はメッシュサイズおよび多項式次数$p$に関して一様収束する。
• スムージングステップ数が十分に大きい限り、Wサイクル multigrid アルゴリズムはメッシュサイズ、$p$、レベル数に関して一様収束する。
• 数値実験により、多項式次数$p$に依存しない固定のスムージングステップ数でも実用的な収束が達成されていることが確認されたが、$p$が増加するにつれて収束速度は劣化する。
• 代数的集合化手法（最大独立集合、最大重み付きマッチング、グリーディ集約）は、$p \geq 1$ では5000反復内に収束しなかったため、高次DG問題には不適切であることが示された。
• 収束係数$\rho$は、すべてのテストされた$p$値および集合化戦略において1に非常に近い（例：$\rho \approx 0.9986$ から $0.9992$）ままであり、代数的集合化を用いた場合の収束の悪さが裏付けられた。
• 結果から、高次DG問題では集合化プロセスに幾何的情報を組み込むか、あるいは Schwarz 型スムージングなどの高度なスムージング手法が必要であると考えられる。