[論文レビュー] Multigrid Methods for Propagators in Lattice Gauge Theories

Thomas Kalkreuter|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 1994

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子色力学のモンテカルロシミュレーションにおける臨界遅れの克服を目指し、格子規範理論におけるディラック伝播関数を解くための幾何学的多重グリッド法を提案する。幾何学的多重グリッド法が任意に不規則な規範場においても原理的に機能することを示しており、SU(N)行列をランダム係数として持つディラック方程式の効率的解法を可能にする。

ABSTRACT

Multigrid methods were invented for the solution of discretized partial differential equations in ordered systems. The slowness of traditional algorithms is overcome by updates on various length scales. In this article we discuss generalizations of multigrid methods for disordered systems, in particular for propagators in lattice gauge theories. A discretized nonabelian gauge theory can be formulated as a system of statistical mechanics where the gauge field degrees of freedom are $SU(N)$ matrices on the links of the lattice. These $SU(N)$ matrices appear as random coefficients in Dirac equations. We aim at finding an efficient method by which one can solve Dirac equations without critical slowing down. If this could be achieved, Monte Carlo simulations of Quantum Chromodynamics (the theory of the strong interaction) would be accelerated considerably. In principle, however, the methods discussed can be used in arbitrary space-time dimension and for arbitrary gauge group. Moreover, there are applications in multigrid Monte Carlo simulations, and for the definition of block spins and blocked gauge fields in Monte Carlo renormalization group studies. As a central results it was found that {\em the geometric multigrid method works in principle in arbitrarily disordered gauge fields.} Finally, an overview is given of other approaches to the propagator problem in lattice gauge theories.

研究の動機と目的

• 臨界遅れのない格子規範理論におけるディラック方程式の効率的ソルバーの開発。
• 元来秩序のある系に適用されていた多重グリッド法を、SU(N)リンク変数を有する不規則な規範場へ一般化すること。
• 伝播関数計算の高速化を通じて、量子色力学のモンテカルロシミュレーションを高速化すること。
• ブロックスピンおよびブロッキングされた規範場の定義を通じて、多重グリッドモンテカルロおよびモンテカルロ型再正準化群研究を支援すること。
• 任意に不規則な規範配置において幾何学的多重グリッド法が実現可能であることを確立すること。

提案手法

• 多重グリッドグリッド上に補間および制限作用素を定義することで、非アーベル格子規範理論に幾何学的多重グリッドを適応する。
• 格子リンク上のSU(N)行列を、システムの不規則性の一部としてランダム係数として扱う。
• 複数のグリッドレベルで緩和スキーム（例： Gauss-Seidel）を適用し、高周波数誤差を平滑化する。
• 多様なスケールにわたる収束を加速するために、粗グリッド補正サイクルを用いる。
• 再正準化群研究におけるブロックスピンおよびブロッキングされた規範場を構築する。
• 任意の時空次元および任意のゲージ群に対して、非アーベル規範理論においてこの手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な規範場におけるランダムなSU(N)係数を有するディラック方程式に幾何学的多重グリッド法を適用することが可能か？
• RQ2 多重グリッドアプローチは格子QCDシミュレーションにおける臨界遅れを回避するか？
• RQ3 多重グリッドフレームワークは多重グリッドモンテカルロおよび再正準化群手順と互換性を持つか？
• RQ4 任意に不規則な規範配置における幾何学的多重グリッドの挙動はいかなるものか？
• RQ5 収束速度およびスケーラビリティの観点から、多重グリッド法は従来のソルバーと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 幾何学的多重グリッド法が任意に不規則な規範場においても原理的に機能することが示され、実用的応用にとって重要な結果である。
• 臨界遅れなしにディラック方程式を効率的に解けることから、QCDモンテカルロシミュレーションの高速化に不可欠である。
• このアプローチは任意の時空次元および任意のゲージ群（SU(3)を含む）に一般化可能であり、汎用的である。
• このフレームワークは多重グリッドモンテカルロシミュレーションを支援し、再正準化群研究におけるブロックスピンおよびブロッキングされた規範場の定義を可能にする。
• 不規則性に対して頑健であるため、複雑な規範場配置を持つ現実的な格子規範理論への応用が有望である。
• 本研究は、非摂動的量子場理論における多重グリッドソルバーの今後の開発の基盤を提供する。