[論文レビュー] Multigrid reduction preconditioning framework for coupled processes in porous and fractured media

Quan M. Bui, François P. Hamon+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis参考文献 64被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、流れ、力学、亀列を含む地下シミュレーションに生じる大規模で結合された線形系を解くための、物理的知見を反映した代数的多重グリッド低減（MGR）プリコンディショナーフレームワークを提案する。ブロック構造と物理的粗化を活用することで、多様な離散化手法に適用可能なスケーラブルかつ効率的な完全陰解法時間積分スキームの解法を実現した。単相流、井戸を伴う成分系流動、および水圧破壊の事例で検証され、実油田スケールの問題において強スケーリングおよび弱スケーリングの両方を達成した。

ABSTRACT

Many subsurface engineering applications involve tight-coupling between fluid flow, solid deformation, fracturing, and similar processes. To better understand the complex interplay of different governing equations, and therefore design efficient and safe operations, numerical simulations are widely used. Given the relatively long time-scales of interest, fully-implicit time-stepping schemes are often necessary to avoid time-step stability restrictions. A major computational bottleneck for these methods, however, is the linear solver. These systems are extremely large and ill-conditioned. Because of the wide range of processes and couplings that may be involved--e.g. formation and propagation of fractures, deformation of the solid porous medium, viscous flow of one or more fluids in the pores and fractures, complicated well sources and sinks, etc.--it is difficult to develop general-purpose but scalable linear solver frameworks. This challenge is further aggravated by the range of different discretization schemes that may be adopted, which have a direct impact on the linear system structure. To address this obstacle, we describe a flexible framework based on multigrid reduction that can produce purely algebraic preconditioners for a wide spectrum of relevant physics and discretizations. We demonstrate its broad applicability by constructing scalable preconditioners for several problems, notably: a hybrid discretization of single-phase flow, compositional multiphase flow with complex wells, and hydraulic fracturing simulations. Extension to other systems can be handled quite naturally. We demonstrate the efficiency and scalability of the resulting solvers through numerical examples of difficult, field-scale problems.

研究の動機と目的

• 完全陰解法時間離散化に起因する大規模で悪条件な線形系を解く際の計算ボトル neck を解消すること。
• 流体・力学・亀列を含む多様な物理現象と、ミメティック有限差分法や有限体積法を含む多様な離散化スキームに適用可能な汎用的でスケーラブルな線形ソルバーフレームワークの開発。
• 既存のブロックプリコンディショナーが過度に特化されており、手動でのチューニングを要するか、複雑で大規模な問題に対してスケーラビリティに欠けるという限界を克服すること。
• 炭素隔離、地熱エネルギー、非従来型炭化水素回収分野における高精度なシミュレーションに向けた、効率的かつ移植可能な解法戦略の実現。
• 単純でない複合的結合と不均一な媒体を含む実油田スケールの問題において、フレームワークの頑健性とスケーラビリティを実証すること。

提案手法

• 物理的場（例：圧力、含水率、変位）を表すB×Bブロック線形系（Ax = b）として連成系を定式化する。
• 幾何的仮定を一切用いずに、幾何的要因に依存しない純代数的フレームワークとして多重グリッド低減（MGR）を適用し、非構造的かつ複雑なグリッドにも適用可能にする。
• 物理的知見に基づいた粗化とスムージング選択を用いることで、流れ・力学・輸送の間の結合構造を保持する。
• 非線形時間積分にニュートン法を統合し、各ニュートンステップで得られるヤコビ行列系を効率的に解く。
• PETSc や Trilinos などの既存のソルバーライブラリを統合することで、シミュレータ間でモジュラーかつ拡張可能で移植可能な実装を可能にする。
• 再実装を伴わず、迅速にソルバーパラメータ（例：低減順序、スムージングタイプ、粗グリッド作用素）の探索が可能となるようにフレームワークを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 汎用的で代数的多重グリッド低減（MGR）フレームワークは、連成流動-地質力学シミュレーションに由来する大規模でブロック構造を持つ線形系を効果的にプリコンディショニングできるか？
• RQ2 単相流、井戸付きの成分系流動、および水圧破壊を含む複雑な油田スケールの問題において、MGRフレームワークのスケーリング性能と収束性はどの程度か？
• RQ3 代数的MGRフレームワーク内での物理的知見に基づいた粗化とブロック構造をどの程度活用できるか、多様な離散化スキームにわたる頑健性の維持に寄与するか？
• RQ4 複雑で密に結合された系において、従来のブロックプリコンディショナー（例：CPR、固定応力）に比べ、MGRが収束速度と並列スケーリングの両面で優れているか？
• RQ5 MGRフレームワークは、再構成を伴わず、異なる種類の井戸モデルや非線形性（例：相転移、亀列の進行）を処理する柔軟性を備えているか？

主な発見

• MGRプリコンディショナーは、すべての3つのテストケース（ハイブリッドミメティック有限差分法による単相流、複雑な井戸を伴う成分系多相流、水圧破壊シミュレーション）において頑健な収束を達成した。
• 大規模で油田に実用的な問題において、強スケーリングおよび弱スケーリングの両方を示し、数千プロセッサでほぼ線形の高速化を達成した。
• 水圧破壊のシナリオでは、亀列の開口、流体圧力、固体の変形の間の強い非線形結合を、動的進行中でさえも効果的に処理できた。
• ミメティック有限差分法や有限体積法を含む異なる離散化スキームにおいても効率を維持し、その汎用性と適応性を示した。
• 問題固有のチューニングを要せず、完全陰解法系を効率的に解けるようになった。これにより、ソルバーデータセットの準備時間と計算コストが顕著に削減された。
• 数値結果により、MGRは特に悪条件で複雑な結合を持つ大規模な系において、標準的なブラックボックスプリコンディショナーを上回ることが確認された。収束速度とスケーリング性能の両面で優れた性能を示した。