[論文レビュー] Multilevel Monte Carlo for uncertainty quantification in structural engineering

Philippe Blondeel, Pieterjan Robbe+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、構造力学問題における不確実性を効率的に定量化するため、有限要素解析と組み合わせたマルチレベルモンテカルロ（MLMC）フレームワークを提案する。特に、ランダムなヤング率を有するビームモデルに対して有効である。メッシュの粗密な階層を活用することで、標準モンテカルロ法に比べて数個のオーダーの高速化を達成し、静的・動的・弾塑性応答において、均質および非均質な材料モデルの下で不確実性の境界を正確に捉える一方で、計算コストを著しく削減する。

ABSTRACT

Practical structural engineering problems often exhibit a significant degree of uncertainty in the material properties being used, the dimensions of the modeled structures, etc. In this paper, we consider a cantilever beam and a beam clamped at both ends, both subjected to a static and a dynamic load. The material uncertainty resides in the Young's modulus, which is modeled by means of one random variable, sampled from a univariate Gamma distribution, or with multiple random variables, sampled from a Gamma random field. Three different responses are considered: the static elastic, the dynamic elastic and the static elastoplastic response. In the first two cases, we simulate the spatial displacement of a concrete beam and its frequency response in the elastic domain. The third case simulates the spatial displacement of a steel beam in the elastoplastic domain. In order to compute the statistical quantities of the static deflection and frequency response function, Multilevel Monte Carlo (MLMC) is combined with a Finite Element solver. In this paper, the computational costs and run times of the MLMC method are compared with those of the classical Monte Carlo method, demonstrating a significant speedup of up to several orders of magnitude for the studied cases.

研究の動機と目的

• 構造工学における不確実性定量化の分野で、従来のモンテカルロ法が抱える高い計算コストに対処すること。
• マルチレベルモンテカルロ（MLMC）を、材料不確実性の単変量およびランダム場表現を含む構造力学問題に適用すること。
• 静的・動的・弾塑性応答の観点から、MLMCと標準モンテカルロ法の計算コストおよび精度の観点での性能を比較すること。
• 均質的と非均質的ヤング率が応答の不確実性に与える影響を可視化および分析すること。
• MLMCが複雑な構造シミュレーションにおいて分散を低減し収束を加速する有効性を検証すること。

提案手法

• MLMC法は、粗いメッシュを多数の安価なサンプルに、細かいメッシュを少数の高価なサンプルに使用する有限要素離散化の階層を用いて適用する。
• 均質的ケースではヤング率を単変量のガンマ分布でモデル化し、非均質的ケースではガウス過程の切断されたカラフネン＝レーベ展開を用いて生成されたガンマランダム場でモデル化する。
• 連続するレベル間の差分を計算することで分散低減を実現し、細かい解だけに比べて差分の分散が小さいという事実を活用する。
• 差分の分散が十分に小さくない場合には、対数2を用いた分散比のしきい値に基づくメッシュの粗密基準を用いて、動的補正戦略を実装する。
• 有限要素ソルバーを用いて、静的たわみ、周波数応答関数、およびボイス・ミーゼス降伏基準と等方硬化を用いた弾塑性条件での力-たわみ曲線を含む応答を計算する。
• 各レベルのサンプル数を最適化することで、与えられた精度に対して総計算コストを最小化するように、適応的サンプリングを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 材料不確実性を伴う構造工学問題において、マルチレベルモンテカルロは標準モンテカルロと比較して、計算コストおよび収束速度の点でどのように異なるか。
• RQ2 ヤング率を均質的ランダム変数としてモデル化するか、非均質的ランダム場としてモデル化するかが、構造応答の不確実性に与える影響は何か。
• RQ3 MLMC法が分散を効果的に低減できない状況はどのようなものであり、その対処法は何か。
• RQ4 静的たわみ、周波数応答関数、および弾塑性力-たわみ曲線の不確実性境界は、異なる材料不確実性モデル下でどのように変化するか。
• RQ5 動的および弾塑性構造応答において、MLMCは計算効率を維持しながら効果的に適用可能か。

主な発見

• 同定された構造的問題において、MLMCは標準モンテカルロ法に比べて最大で数個のオーダーの高速化を達成し、中程度の精度では一般的に10倍程度のスピードアップが得られた。
• 同じ精度の条件下で、MLMCの正規化された計算コストは、標準モンテカルロ法に比べて顕著に低く、特に高い精度要件において顕著である。
• ヤング率を均質的ランダム変数としてモデル化した場合、全サンプルにわたる共振周波数の一貫したシフトのため、周波数応答関数の不確実性境界は広く、広がりが強い。
• ヤング率が非均質な場合、サンプル間のキャンセル効果により全体の分散が低減され、不確実性境界が狭くなる。
• 非均質材料場を有する動的線形応答において、MLMCの分散低減は共振周波数付近で崩れ、動的メッシュ細分化戦略の導入が不可欠となる。
• 対数2に基づく分散比のしきい値2.3を用いた、提案されたしきい値ベースのメッシュ細分化戦略は、問題領域の周波数帯域でMLMCの効率性を効果的に回復した。