[論文レビュー] Multilevel quasiseparable matrices in PDE-constrained optimization

Jacek Gondzio, Pavel Zhlobich|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多次元PDE制約最適化における線形時間演算を可能にする低ランク構造行列クラス「マルチレベル準可分行列」を導入する。PDE行列およびその逆行列をこの構造で近似することで、メッシュに依存しないプリコンディショナを構築し、Krylov法が大規模なサドルポイント系をほぼ線形時間で解くことを可能にした。最適制御問題において最適な計算複雑性を達成した。

ABSTRACT

Optimization problems with constraints in the form of a partial differential equation arise frequently in the process of engineering design. The discretization of PDE-constrained optimization problems results in large-scale linear systems of saddle-point type. In this paper we propose and develop a novel approach to solving such systems by exploiting so-called quasiseparable matrices. One may think of a usual quasiseparable matrix as of a discrete analog of the Green's function of a one-dimensional differential operator. Nice feature of such matrices is that almost every algorithm which employs them has linear complexity. We extend the application of quasiseparable matrices to problems in higher dimensions. Namely, we construct a class of preconditioners which can be computed and applied at a linear computational cost. Their use with appropriate Krylov methods leads to algorithms of nearly linear complexity.

研究の動機と目的

• PDE制約最適化問題に由来する大規模なサドルポイント系を解く際の計算ボトルネックを解消すること。
• 従来1次元問題に限定されていた準可分行列の適用範囲を、多次元PDEに拡張すること。
• 直接因子分解にかかる高コストを回避するため、繰り返し解法がほぼ線形時間で収束するプリコンディショナを開発すること。
• 新しいマルチレベル準可分構造を用いて、行列の逆行列計算、演算、分解をO(n)の演算回数で行えることを示すこと。

提案手法

• より高い階層のパラメータが、下位の階層の準可分行列であるような、新しい行列クラス「マルチレベル準可分行列」を提案する。
• 階層的パrameter化を用いて、O(n)個のパラメータで表現される行列を構築し、効率的な保存および操作を可能にする。
• マルチレベル準可分行列に対して、加算、乗算、逆行列計算などの高速演算をO(n)回の浮動小数点演算で実行する。
• PDE行列とその逆行列をマルチレベル準可分構造で近似することで、サドルポイント系のためのプリコンディショナを構築する。
• 新規プリコンディショナを用いた、プリコンディションド共役勾配法（PCG）を用いて離散的最適制御問題を解く。
• 正規方程式行列Sをマルチレベル準可分形式に圧縮するための順序還元アルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準可分行列は1次元から多次元問題へ一般化可能であり、PDE制約最適化の効率的解法を可能にするか？
• RQ2 マルチレベル準可分行列は、多次元においても行列の逆行列計算や演算を線形時間で行えるか？
• RQ3 マルチレベル準可分行列に基づくメッシュに依存しないプリコンディショナを、PDE制約最適制御に由来するサドルポイント系に構築可能か？
• RQ4 提案手法は、大規模問題において実際の計算でほぼ線形の複雑性を達成するか？
• RQ5 マルチレベル準可分行列の適用範囲は、対称楕円型PDEを越えてどの程度広がるか？

主な発見

• 提案されたマルチレベル準可分プリコンディショナは、PDE制約最適化問題においてメッシュに依存しない収束性を示した。
• システムの解法に要するCPU時間は、問題サイズに比例して線形に増加しており、実際のほぼ線形複雑性を裏付けた。
• β = 10⁻²および許容誤差10⁻⁴の場合、全解法時間はn=12の1.93秒からn=18の146.51秒に増加し、線形スケーリングを示した。
• β = 10⁻⁵および許容誤差10⁻⁸の場合、全時間はn=12の1.88秒からn=18の146.40秒に増加し、再び線形増加を確認した。
• PCG反復回数は低く安定しており（1〜5回）、収束の強靭性とメッシュに依存しない性質を示した。
• 状態uおよび制御fの解は正確に回復され、uの相対誤差はβ=10²の0.03からβ=10⁻²の1.9e-4に減少した。