[論文レビュー] Multilinear Calderón-Zygmund operators on Hardy spaces

Loukas Grafakos, N. J. Kalton|Hispana|Oct 8, 2000

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用数 80

ひとこと要約

本稿は、$H^{p_j}$ の積上の多重線形 Calderón-Zygmund 箇乗作用素の有界性を確立し、古典的な線形理論を拡張する。原子的分解と多重線形補間を用いて、作用素の $L^q$-有界性と核の滑らかさに依存する作用素ノルムの制御を示し、核の導関数に対する鋭い滑らかさ条件の下で、$H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ への有界性を証明する。

ABSTRACT

It is shown that multilinear Calderón-Zygmund operators are bounded on products of Hardy spaces.

研究の動機と目的

• $L^p$ 空間から $0 < p_j \leq 1$ のための Hardy 空間 $H^{p_j}$ の積への Calderón-Zygmund 作用素の古典的有界性理論を拡張すること。
• $L^p$ への有界性を保証する核の滑らかさの鋭い条件（$N = [n(1/p - 1)]$ を通じて）を確立すること。
• Fefferman と Stein の線形理論を多重線形設定に一般化し、多重線形 Calderón-Zygmund 作用素が $H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ に有界に拡張されることを証明すること。

提案手法

• Hardy 空間の原子的分解を用い、関数を $H^{p_j}$-原子の有限和として表現し、$[n(1/p_j - 1)]$ 階のキャンセレーションを持つ。
• $0 < s_j < 1$ の場合に $L^{1/\varepsilon} \times \cdots \times L^{1/\varepsilon} \to L^{1/m\varepsilon}$ と $H^{s_1} \times \cdots \times H^{s_m} \to L^s$ の間で複素補間を適用する多重線形補間を適用する。
• 核の推定 $|\partial^\alpha K| \leq A_\alpha / (\sum_{k,l} |y_k - y_l|)^{mn + |\alpha|}$ を $|\alpha| \leq N$ に対して用い、$N = [n(1/p - 1)]$ である。これにより作用素ノルムを制御する。
• 作用素を2つの場合に分けて解析する：点 $x$ が拡大された立方体 $Q_j^*$ 内にある場合と、少なくとも1つの立方体の外にある場合。キャンセレーションと滑らかさを用いて積分を評価する。
• 弱型推定と最大切断 $T_*$ の理論を適用し、最大作用素 $T_*$ も $H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ に同様のノルム制御で有界に写像することを示す。
• $T_\delta$ の核がすべての $\delta > 0$ に対して一様に同じ推定を満たすという事実を用い、最大関数の議論における一様制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重線形 Calderón-Zygmund 作用素は、$0 < p_j \leq 1$ のとき、$H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ に有界に拡張可能か？
• RQ2 このような有界性を保証するための多重線形核 $K$ の最小滑らかさ条件は何か？
• RQ3 $H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ 上での作用素ノルムは、その $L^q$-有界性と核のセミノルムとどのように関係するか？
• RQ4 有界性結果は最大特異積分作用素 $T_*$ に拡張可能か？
• RQ5 多重線形補間は、$p_j > 1$ と $p_j \leq 1$ の両方のスケールにわたる有界性理論を統一するための有効な手法か？

主な発見

• 多重線形 Calderón-Zygmund 作用素 $T$ は、$1/q_1 + \cdots + 1/q_m = 1/q$ かつ $1/p_1 + \cdots + 1/p_m = 1/p$ で $0 < p_j \leq 1$ のとき、$H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ に有界に写像される。
• 作用素ノルムは $\|T\|_{H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m} \to L^p} \leq C(n, p_j, q_j) \left( B + \sum_{|\alpha| \leq N+1} A_\alpha \right)$ を満たす。ここで $B$ は $L^q$-作用素ノルム、$A_\alpha$ は核のセミノルムである。
• 核に必要な滑らかさは $N = [n(1/p - 1)]$ であり、これは鋭く、$H^p$-原子のキャンセレーション次数と一致する。
• 最大特異積分作用素 $T_*$ も同様のノルム推定を用いて、$H^{p_1} \times \cdots \times H^{p_m}$ から $L^p$ に有界に写像される。
• 多重線形補間により、$p_j > 1$ と $p_j \leq 1$ の両方で一様に成立し、$p_j > 1$ のとき $H^{p_j} = L^{p_j}$ であり、補間により正しい Lorentz スケールが得られる。