[論文レビュー] Multilinear processes in Banach space

Fred Espen Benth, Nils Detering+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、抽象的バナッハ空間上の無限次元独立増分過程に対して、条件付き期待値のマルチ線形性を保つ性質を確立し、バナッハ代数を超えて多項式過程を一般化する。バナッハ空間が可換である場合、これらの過程は標準的な多項式過程と一致し、マルチ線形性の構造は非可換な設定でも自然に出現する。

ABSTRACT

We observe a multilinearity preserving property of conditional expectation for infinite dimensional independent increment processes defined on some abstract Banach space $B$. It is similar in nature to the polynomial preserving property analysed greatly for finite dimensional stochastic processes and thus offers an infinite dimensional generalisation. However, while polynomials are defined using the multiplication operator and as such require a Banach algebra structure, the multilinearity preserving property we prove here holds even for processes defined on a Banach space which is not necessary a Banach algebra. In the special case of $B$ being a commutative Banach algebra, we show that independent increment processes are polynomial processes in a sense that coincides with a canonical extension of polynomial processes from the finite dimensional case. The assumption of commutativity is shown to be crucial and in a non-commutative Banach algebra the multilinearity concept arises naturally. Some of our results hold beyond independent increment processes and thus shed light on infinite dimensional polynomial processes in general.

研究の動機と目的

• バナッハ代数構造を要件としない無限次元バナッハ空間への多項式過程の概念の拡張。
• 無限次元設定において、乗法演算子が存在しない場合でも、条件付き期待値におけるマルチ線形性が保たれるかの調査。
• 有限次元多項式過程との一貫性を保証するための可換性の役割の明確化。
• 非可換バナッハ代数においてマルチ線形性がどのように自然に出現するかの探求。
• 独立増分過程に限定されない、より広範なクラスの無限次元多項式過程への結果の一般化。

提案手法

• 抽象的バナッハ空間上での独立増分を有する無限次元確率過程の分析。
• 有限次元の場合の多項式保存と類似する、条件付き期待値のマルチ線形性を保つ性質の導入。
• 乗法演算子が存在しない状況において、関数解析的手法を用いて条件付き期待値の性質を導出。
• バナッハ空間が可換バナッハ代数である場合、独立増分過程と多項式過程が等価であることを確立。
• 非可換バナッハ代数においても、マルチ線形性が自然に出現することを示す。
• 独立増分過程に限定されない一般の無限次元多項式過程への結果の拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ代数でない無限次元バナッハ空間に対しても、多項式過程の枠組みを一般化できるか？
• RQ2 乗法演算子が存在しない無限次元設定においても、条件付き期待値のマルチ線形性を保つ性質が成立するか？
• RQ3 有限次元多項式過程との一貫性を保証するための可換性の役割は何か？
• RQ4 非可換バナッハ代数においてマルチ線形性はどのように自然に出現するか？
• RQ5 これらの結果は、独立増分過程に限定されない一般の無限次元多項式過程へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 乗法演算子が存在しないバナッハ空間に対しても、無限次元独立増分過程の条件付き期待値はマルチ線形性を保つ。
• バナッハ空間が可換バナッハ代数である場合、独立増分過程は有限次元ケースの標準的拡張としての多項式過程と一致する。
• 無限次元設定において、独立増分過程と多項式過程の等価性を保証するためには、可換性が重要な条件である。
• 非可換バナッハ代数では、マルチ線形性の概念が自然に出現し、可換な場合を越えた構造的一般化を示唆する。
• マルチ線形性を保つ性質は独立増分過程に限定されず、一般の無限次元多項式過程についての知見を提供する。