[論文レビュー] Multiloop integrals made simple: applications to QCD processes

Johannes M. Henn|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、QCDにおける多ループFeynman積分を計算するための新規手法を提示する。この手法は、運動変数における微分方程式を用い、解が有理関数の簡単なアルファベットと反復積分の構造を定義する定数行列に符号化される。このアプローチにより、多重ポリログラムを用いたコンactかつ解析的に透明な結果が得られ、ハドロン衝突における2つのオフシェル・ベクトルボソン生成のNNLO QCD補正に必要なすべての平面的マスターリンテグラルの効率的計算が可能になる。

ABSTRACT

I will present a new method for thinking about and for computing loop integrals based on differential equations. All required information is obtained by algebraic means and is encoded in a small set of simple quantities that I will describe. I will present various applications, including results for all planar master integrals that are needed for the computation of NNLO QCD corrections to the production of two off-shell vector bosons in hadron collisions.

研究の動機と目的

• NNLOにおける仮想ループ積分の解析的結果の不足が引き起こす理論的ブottleneckを解消すること。
• 構造的に効率的で透明な、多ループ積分を体系的かつ代数的に計算するための手法を開発すること。
• 特にLHC物理学に関連するスケールが複数ある積分を、最小限のデータセットで処理するフレームワークを提供すること。
• 特別に選ばれた基底を用いることで、微分方程式によってループ積分の特異性構造と漸近的挙動を明示すること。
• この手法を非平面的および質量付き積分、特に重味クォーク有効理論（HQET）や光子-光子散乱に現れる積分へ一般化すること。

提案手法

• 運動変数における微分方程式（DEs）を用いるが、マスターリンテグラルの基底を特筆的に選ぶことで、DEが標準的かつ解ける形を取ることを鍵とする。
• 解は、積分の特異性を定義する有理関数のアートフォーレット（例：{x, y, z, 1+x, 1−y, ...}）に符号化される。
• 微分方程式は $ d\vec{f} = \epsilon \, d\tilde{A} \vec{f} $ の形に書かれる。ここで $ \tilde{A} = \sum \tilde{A}_{\alpha_i} \log(\alpha_i) $ であり、定数行列 $ \tilde{A}_{\alpha_i} $ が解の文法を規定する。
• 結果は一様な超越的重みを持つ反復積分（一般化ポリログラム）として表現され、コンパクトで透明な解析的形が保証される。
• DEの構造から解を直接読み取ることができ、既存のコードを用いて効率的な数値評価が可能になる。
• 複数の運動変数とそれに応じた多変数アートフォーレットを用いることで、多スケール問題への自然な拡張が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のスケールを持つ多ループFeynman積分を、特異性構造を明示的に示す形で、かつ効率的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 マスターリンテグラルのどの基底選びが、解きやすい標準的形の微分方程式を生じさせ、直接的な解法を可能にするか？
• RQ3 この手法をLHCの素粒子物理学的応用に関連する非平面的・質量付き・多スケール積分に体系的に適用可能か？
• RQ4 ループ積分の解析的構造を、具体的にアートフォーレットと定数行列という最小限のデータセットに符号化することは可能か？
• RQ5 この手法は、2つのオフシェル・ベクトルボソン生成のNNLO補正の計算をどの程度簡略化できるか？

主な発見

• ハドロン衝突における2つのオフシェル・ベクトルボソン生成のNNLO QCD補正に必要な、すべての平面的マスターリンテグラルが、この手法を用いて計算された。
• 積分の解は重み4までの多重ポリログラムで表現され、即座に素粒子物理学的応用に利用可能な電子形式で提供されている。
• この手法により、Mandelstam変数 $ s $ と $ t $ に依存する3ループ平面的質量なし4点積分が、26個の積分からなる基底で計算可能となった。
• この手法は非平面的積分へも一般化され、Yang-Mills理論および（超）重力理論における3ループ非平面的積分の結果も現在進行中である。
• この手法により、cusp角 $ \phi $ に依存するHQETのcusp積分が計算可能となり、質量付きQCD振幅における赤外発散の理解に寄与する。
• アートフォーレット $ \alpha = \{x, y, z, 1+x, 1-y, \dots \} を用いた微分方程式形 $ d\vec{f} = \epsilon \, d\tilde{A} \vec{f} $ は、解析的構造を完全に符号化しており、運動変数の極限における直ちに可能な級数展開を可能にする。