[論文レビュー] MultiMesh Finite Element Methods I: Solving PDEs on Multiple Intersecting Meshes

August Johansson, Benjamin Kehlet+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エンジン部品やマルチフィジックス系のような別々の領域を独立に離散化できる、複数の交差するメッシュ上で偏微分方程式（PDE）を解くための新規フレームワークであるMultiMesh有限要素法（MultiM-FEM）を提案する。最適収束性、薄い交差や丸め誤差に対するロバスト性、大変形を伴う問題への適用可能性を示している。

ABSTRACT

We present a new framework for expressing finite element methods on multiple intersecting meshes: multimesh finite element methods. The framework enables the use of separate meshes to discretize parts of a computational domain that are naturally separate; such as the components of an engine, the domains of a multiphysics problem, or solid bodies interacting under the influence of forces from surrounding fluids or other physical fields. Such multimesh finite element methods are particularly well suited to problems in which the computational domain undergoes large deformations as a result of the relative motion of the separate components of a multi-body system. In the present paper, we formulate the multimesh finite element method for the Poisson equation. Numerical examples demonstrate the optimal order convergence, the numerical robustness of the formulation and implementation in the face of thin intersections and rounding errors, as well as the applicability of the methodology. In the accompanying paper~\cite{mmfem-2}, we analyze the proposed method and prove optimal order convergence and stability.

研究の動機と目的

• 相対的に大きな運動を伴う複数の独立にメッシュ化された構成要素からなる計算領域上でPDEを解く課題に対処すること。
• 相互作用する固体、流体、またはマルチフィジックスコンポONENTSのような自然に分離された領域を扱える有限要素法を可能にすること。
• 薄いメッシュ交差や数値丸め誤差の影響ですらも安定的かつ正確に保てる、堅牢な数値フレームワークを開発すること。
• 各領域ごとに別々のメッシュを用いて、大変形を伴う時間依存問題や複雑な幾何的相互作用を扱う基盤を提供すること。

提案手法

• 各メッシュが独立に細分化・適応可能である複数の重なり合うメッシュを用いて、ポアソン方程式の弱形式を定式化する。
• メッシュの交差領域における連続性または界面条件を弱く強制するために、ニツェ法を採用する。
• 背景メッシュと前面メッシュの交差領域上で積分を行う quadrature ルールを用い、重複要素上の積分を正確に保証する。
• 体に適合するメッシュを必要とせず、交差するメッシュの幾何的複雑性を処理するため、カット有限要素法のアプローチを適用する。
• メッシュ間の非一致界面をカップリングするために、保存的なモアテン類似のアプローチを採用する。
• 小規模または歪んだ交差に対しても安定性を確保するため、安定化された変分形式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑に交差する複数の独立して生成されたメッシュ上でPDEを解く有限要素法を定式化できるか？
• RQ2 交差が非常に薄いか歪んでいる場合でも、メッシュ間の連続性と安定性をどのように確保できるか？
• RQ3 幾何的および積分的課題が存在する中で、ポアソン方程式に対して最適収束率が達成されるか？
• RQ4 数値丸め誤差や小さな交差体積に対して、この手法はどれほどロバストか？
• RQ5 このフレームワークは、構成要素間に大きな相対運動を伴う時間依存問題へと拡張可能か？

主な発見

• 提案されたMultiMesh FEMは、数値実験によりポアソン方程式に対して最適次数収束を達成している。
• メッシュの交差が非常に薄いか、うまく整列していない場合でも、数値的にロバストである。
• 丸め誤差の影響ですらも安定性と正確性を維持しており、実用的な信頼性を示している。
• 別々の領域を独立してメッシュ化できるため、複雑なマルチボディ系の効率的取り扱いが可能である。
• 再メッシュ化や複雑な界面追跡を回避するため、大変形を伴う問題に特に適している。
• 理論的分析を伴う後続論文で示されるように、他のPDEやマルチフィジックス問題へもスケーラブルかつ一般化可能である。