[論文レビュー] Multimode Gaussian optimizers for the Wehrl entropy and quantum Gaussian channels

Giacomo De Palma, Dario Trevisan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多モード領域において、与えられたvon Neumannエントロピーを持つあらゆる量子状態の中で、熱的ガウス状態がWehrlエントロピーを最小化することを確立し、また、積基底において対角である入力状態のうち、固定されたエントロピーを持つものについて、多モード量子ガウスチャネルの出力von Neumannエントロピーも最小化することを示している。これらの結果は、量子古典チャネルおよび古典量子チャネルにおける制約付き最小出力エントロピーの加法性を用いて導出されており、以前の1モード結果を拡張し、量子情報理論における長年の最小出力エントロピー予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

We prove in the multimode scenario a fundamental relation between the Wehrl and the von Neumann entropy, stating that the minimum Wehrl entropy among all the quantum states with a given von Neumann entropy is achieved by thermal Gaussian states. We also prove that thermal Gaussian input states minimize the output von Neumann entropy of multimode quantum Gaussian attenuators, amplifiers and phase-contravariant channels among all the input states diagonal in some product basis and with a given entropy. This result constitutes a major step towards the proof of the same property for generic input states, which is still an open conjecture. This conjecture is necessary to determine the maximum communication rates for the triple trade-off coding and broadcast communication with the Gaussian quantum-limited attenuator. Finally, we prove that the tensor product of n identical geometric input probability distributions minimizes the output Shannon entropy of the n-mode thinning among all the input probability distributions with a given entropy.

研究の動機と目的

• 1モードから多モード量子領域へのWehrlエントロピーとvon Neumannエントロピーの基本的関係を拡張すること。
• 積基底において対角である固定エントロピーを持つ入力状態のうち、多モード量子ガウス減衰器、増幅器、位相反転性チャネルの出力von Neumannエントロピーを最小化する入力として熱的ガウス状態が成立することを証明すること。
• 任意の入力状態に対して一般化された最小出力エントロピー予想を証明するための主要な一歩を提供すること。
• スプライシング写像の制約付き最小出力エントロピー性の多モード拡張を確立し、幾何分布が出力シャノンエントロピーを最小化することを示すこと。

提案手法

• 数学的帰納法と凸性の議論を用いて、量子古典チャネルおよび古典量子チャネルにおける制約付き最小出力エントロピー（CMOE）の加法性を証明した。
• 加法性の結果を応用して、与えられたvon Neumannエントロピーに対する最小Wehrlエントロピーが多モード状況で熱的ガウス状態によって達成されることを証明した。
• 加法性フレームワークを用いて、積基底において対角である入力状態のうち、固定エントロピーを持つものについて、nモードのテンソル積量子ガウスチャネルの出力von Neumannエントロピーがnモード熱的ガウス状態によって最小化されることを示した。
• 加法性結果と既知の1モードにおける幾何分布に関する結果を活用して、nモードスプライシング写像におけるCMOE性を拡張した。
• 特にエントロピー関数g(λ)とその逆関数を含む不等式を証明するため、エントロピー関数の凸性および単調性の分析を用いた。
• エントロピー関数gとその逆関数を含む合成関数の凸性および単調性に関する補助的補題を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたvon Neumannエントロピーに対する最小Wehrlエントロピーは、1モードの場合と同様に多モード領域でも熱的ガウス状態によって達成されるか？
• RQ2 積基底において対角である入力状態のうち、固定エントロピーを持つものについて、多モード設定における量子ガウスチャネルの制約付き最小出力エントロピー予想は証明可能か？
• RQ3 nモードスプライシング写像の出力エントロピーは、与えられたエントロピーを持つすべての入力分布の中で、同一の幾何分布のテンソル積によって最小化されるか？
• RQ4 多モード設定における量子古典チャネルおよび古典量子チャネルについて、制約付き最小出力エントロピーの加法性は成立するか？
• RQ5 加法性フレームワークを用いて、スプライシング写像の多モード拡張における最小出力エントロピー性を厳密に確立できるか？

主な発見

• 与えられたvon Neumannエントロピーを持つあらゆる量子状態の中で、多モード状況において最小Wehrlエントロピーは熱的ガウス状態によって達成され、これは1モードの場合にのみ以前に証明されていた予想を確認するものである。
• 多モード量子ガウスチャネル（減衰器、増幅器、位相反転性）において、積基底において対角である固定エントロピーを持つ入力状態のうち、熱的ガウス入力状態が出力von Neumannエントロピーを最小化する。
• この結果は、一般の最小出力エントロピー予想（任意の入力状態に対して未解決）に対する強い証拠を提供し、三重取引およびブロードキャスト量子通信における最大通信レートの決定に不可欠である。
• n個の同一の幾何分布のテンソル積が、与えられたエントロピーを持つすべての入力分布の中でnモードスプライシング写像の出力シャノンエントロピーを最小化する。これは既知の1モード結果を拡張するものである。
• 量子古典チャネルおよび古典量子チャネルにおける制約付き最小出力エントロピーの加法性が厳密に証明され、1モード結果を多モード領域に拡張可能であることを可能にした。
• 証明は、特にエントロピー関数g(λ)の逆関数にかかわる、エントロピー関数の新しい凸性および単調性の性質に依拠しており、対数関数および有理関数の詳細な解析を通じて確立された。