[論文レビュー] Multiparameter Quantum Deformations of Jordanian Type for Lie Superalgebras

V.N. Tolstoy|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リー超代数に対するマルチパラメータ量子変形（ジョルダン型）を導入し、ボレル部分代数に支持される変形関数を用いて、非標準的ドリンフェルト＝ジムボのねじれを超代数へ一般化する。$σλ(m|n)$ および $σπ(1|2n)$ の明示的全変形を提供し、$D=4$ スーパーポincare代数の光円錐 $Π$-変形が、明示的な変形式を持つジョルダン型 $r$-行列から生じることを示す。

ABSTRACT

We discuss quantum deformations of Jordanian type for Lie superalgebras. These deformations are described by twisting functions with support from Borel subalgebras and they are multiparameter in the general case. The total twists are presented in explicit form for the Lie superalgebras sl(m|n) and osp(1|2n). We show also that the classical $r$-matrix for a light-cone deformation of D=4 super-Poincare algebra is of Jordanian type and a corresponding twist is given in explicit form.

研究の動機と目的

• 非標準的（ジョルダン型）量子変形をリー代数からリー超代数へ拡張すること。
• 古典的リー超代数に対してボレル部分代数に支持されるマルチパラメータ変形を構成すること。
• $σλ(m|n)$ および $σπ(1|2n)$ 超代数に対する明示的全変形作用素を提供すること。
• 光円錐 $Π$-変形の $D=4$ スーパーポincare代数の古典的 $r$-行列がジョルダン型であることを示すこと。
• 光円錐 $Π$-変形に対応する明示的変形式を導出すること。

提案手法

• 根ベクトルとカルタン要素が特定の階数付き交換関係を満たすように、最大階数の拡張ジョルダン型 $r$-行列を構成する。
• ボレル部分代数の標準的鎖から得られる、互いにココミュタティブな拡張 $r$-行列の和として、最大の古典的ジョルダン型 $r$-行列を定義する。
• 変形関数 $F_{θ,N}(\xi)$ を用いて全変形作用素を導出し、ジョルダン変形 $F_J(\sigma_\theta)$ と拡張 $\mathcal{F}_N(\xi)$ を組み合わせる。
• 超ポincare代数に対して一般変形式 $F = \mathfrak{F}_{\kappa}(Q_2)\mathfrak{F}_{\kappa}(Q_1)F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1))$ を用い、$F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1))$ をテンソル積の指数関数として与える。
• 超変形因子 $\mathfrak{F}_{\kappa}(Q_\alpha)$ を $Q_\alpha$ と $\sigma_+ = \frac{1}{2}\ln(1 + \frac{1}{\kappa}P_+)$ を含む形で導入し、階数付き交換性を保証する。
• 得られた $r$-行列が古典的ヤン・バクスター方程式を満たし、三角型ホップ代数構造を生成することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的（ジョルダン型）量子変形をリー代数からリー超代数へ一般化できるか？
• RQ2 $σλ(m|n)$ および $σπ(1|2n)$ 超代数に対する全変形作用素の明示的形は何か？
• RQ3 光円錐 $Π$-変形の $D=4$ スーパーポincare代数はジョルダン型 $r$-行列から生じるか？
• RQ4 光円錐 $Π$-変形の古典的 $r$-行列に対応する明示的変形式は何か？
• RQ5 ボレル部分代数に基づくマルチパラメータ変形は、三角型ホップ代数構造をどのように保存するか？

主な発見

• 標準的ボレル部分代数の鎖とマルチパラメータ拡張を用いて、$σλ(m|n)$ および $σπ(1|2n)$ に対して明示的全変形作用素を構成した。
• 光円錐 $Π$-変形の $D=4$ スーパーポincare代数の古典的 $r$-行列がジョルダン型であることが示され、$r = \frac{1}{\kappa}(P_1 \wedge (N_1 + M_2) + P_2 \wedge (N_2 - M_1) + P_+ \wedge N_3 + 2(Q_1 \wedge Q_1 + Q_2 \wedge Q_2))$ である。
• $D=4$ スーパーポincare代数の変形は明示的に $F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1|1)) = \mathfrak{F}_{\kappa}(Q_2)\mathfrak{F}_{\kappa}(Q_1)F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1))$ と与えられ、$F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1))$ は $P_1$, $P_2$, $N_3$, および $\sigma_+$ を含む指数関数の積として表現される。
• 超変形因子 $\mathfrak{F}_{\kappa}(Q\alpha)$ は $\sqrt{\frac{(1+e^{\sigma_+})\otimes(1+e^{\sigma_+})}{2(1+e^{\sigma_+}\otimes e^{\sigma_+})}}\left(1 + \frac{2}{\kappa}\frac{Q_\alpha}{1+e^{\sigma_+}}\otimes\frac{Q_\alpha}{1+e^{\sigma_+}}\right)$ として導出され、階数付き整合性が保証される。
• $F_{\kappa}(\mathcal{P}(3,1))$ は明示的に $e^{\frac{i}{\kappa}P_1\otimes(N_1+M_2)e^{-2\sigma_+}}e^{\frac{i}{\kappa}P_2\otimes(N_2-M_1)e^{-2\sigma_+}}e^{2iN_3\otimes\sigma_+}$ と与えられ、$\sigma_+ = \frac{1}{2}\ln(1 + \frac{1}{\kappa}P_+)$ である。
• 得られた $r$-行列は古典的ヤン・バクスター方程式を満たし、変形の三角型ホップ代数構造が確認された。