[論文レビュー] Multiparametric Dissipative Linear Stationary Dynamical Scattering Systems: Discrete Case

Dmitriy S. Kalyuzhniy|ArXiv.org|Apr 28, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、$ t \in \mathbb{Z}^N $ の離散時間における多パrameter的分散および保存的線形定常散乱系を導入し、多パrameter的Lax-Phillips半群を用いて1次元系を一般化する。アグラー型の定理を確立し、$ \mathbb{D}^N $ 上の正則な作用素値関数で、作用素のノルムが1以下であるものは、保存的多パrameter的散乱系の伝達関数であることが正確に特徴づけられる。

ABSTRACT

We propose the new generalization of linear stationary dynamical systems with discrete time $t\in\mathbb{Z}$ to the case $t\in space{Z}{N}$. The dynamics of such a system can be reproduced by means of its associated multiparametric Lax-Phillips semigroup. We define multiparametric passive, and conservative scattering systems and interpret them in terms of operator colligations, of the associated semigroup and of "energetic" relations for system data. We prove the Agler's type theorem describing the class of holomorphic operator-valued functions on the polydisc $ space{D}{N}$ that are the transfer functions of multiparametric conservative scattering systems. Keywords: Passive systems, multiparametric Lax-Phillips semigroup, generalized Schur class, conservative realizations

研究の動機と目的

• 1次元線形定常動的系（LSDS）を離散的 $ N $ 次元時間 $ t \in \mathbb{Z}^N $ に一般化する。
• 作用素コリゲーションとエネルギー関係を用いて、多パrameter的分散および保存的散乱系を定義する。
• 保存的系の伝達関数として現れる、多変数単位円板 $ \mathbb{D}^N $ 上の正則な作用素値関数のクラスを特徴づける。
• 多パrameter的系の文脈において、一般化されたシュールクラスに対するアグラーの定理の多次元版を確立する。

提案手法

• $ N $ 重の時間発展を伴う方程式系を用いて、多パrameter的 LSDS を導入する：$ x(t + e_k) = A_k x(t) + B_k u(t) $, $ y(t) = C_k x(t) + D_k u(t) $, $ k = 1, \dots, N $。
• 状態空間 $ \mathcal{X} \oplus \mathcal{N}^- $ 上で作用する系行列 $ G = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $ を定義し、分散系ではノルムが1以下（$ G^*G \leq I $）であり、保存系ではユニタリ（$ G^*G = I, GG^* = I $）である条件を課す。
• $ N $ 個の可換な作用素 $ A_k $ の共同作用によって生成される多パrameter的Lax-Phillips半群を用いて、動的を表現する。これは、古典的状況における1パラメータ半群の一般化である。
• 作用素コリゲーション理論を用いて、系のデータを解釈し、エネルギー保存・散逸の恒等式を導出する。
• 一般化されたシュールクラスの枠組みを適用し、$ \mathbb{D}^N $ 上の正則な作用素値関数を特徴づけ、それらが伝達関数 $ \theta(z) = D + zC(I - zA)^{-1}B $ として表せることを示す。
• 任意の関数が一般化されたシュールクラス $ S_N^0(\mathcal{N}^-, \mathcal{N}^+) $ に属する場合、密接に接続されたユニタリコリゲーションを用いて保存的実現が可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元線形定常動的系を離散的 $ N $ 次元時間 $ \mathbb{Z}^N $ にどのように一般化できるか？
• RQ2 作用素コリゲーションとエネルギーバランスの観点から、多パrameter的分散および保存的散乱系を定義する条件は何か？
• RQ3 多変数単位円板 $ \mathbb{D}^N $ 上のどの正則な作用素値関数が、保存的多パrameter的系の伝達関数として現れるか？
• RQ4 与えられた関数が一般化されたシュールクラスに属する場合、その保存的実現はどの程度一意的か？
• RQ5 多パrameter的Lax-Phillips半群構造は、散乱理論における古典的1パラメータ半群をどのように一般化するか？

主な発見

• 多変数単位円板 $ \mathbb{D}^N $ 上の正則な作用素値関数 $ \theta(z) $ で、$ \mathcal{N}^- $ から $ \mathcal{N}^+ $ への作用素のノルムが1以下であるものは、すべて保存的多パrameter的散乱系の伝達関数である。
• このような $ \theta $ に対しては、保存的実現が存在し、それは密接に接続されたものとして選べる。すなわち、状態空間は、入力・出力空間が系作用素の下で生成する共同軌道の閉線形包となる。
• 保存的実現の状態空間次元は一意的ではない：本稿では、同じ関数 $ \theta(z) = z_1 z_2 $ に対して、次元1と次元3の異なる保存的実現を構成している。
• 最小の保存的実現はユニタリ同値を除いて一意的であり、同じ伝達関数を持つ保存的系を支える部分空間としての真の不変部分空間は存在しない。
• 系行列 $ G $ は $ N $ 次元トーラス $ \mathbb{T}^N $ 上でユニタリであるため、多パrameter的設定下でもエネルギー保存が保証される。
• 伝達関数は $ \theta(z) = D + zC(I - zA)^{-1}B $ で与えられ、ここで $ z = (z_1, \dots, z_N) $ であり、$ z \in \mathbb{D}^N $ に対してはリゾルベントが正しく定義される。