[論文レビュー] Multipartite entangled states, symmetric matrices and error-correcting codes

Keqin Feng, Lingfei Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対称行列と古典的エラー訂正符号を用いて、$k$-一様なマルチパーティ量子状態の2つの新しい構成法を提示する。偶数 $n$ および十分に大きな素数 $d$ に対して、$n/2$-一様な $n$-クイッド状態の存在を証明し、$k = \Omega(n)$ の一様性を確立し、$3$-一様状態をすべての $n \geq 8$ に対して構成することで、未解決の問題を解決する。対称行列手法は、より高い $k$-一様性を達成する点で、符号に基づくアプローチを上回る。

ABSTRACT

A pure quantum state is called $k$-uniform if all its reductions to $k$-qudit are maximally mixed. We investigate the general constructions of $k$-uniform pure quantum states of $n$ subsystems with $d$ levels. We provide one construction via symmetric matrices and the second one through classical error-correcting codes. There are three main results arising from our constructions. Firstly, we show that for any given even $n\ge 2$, there always exists an $n/2$-uniform $n$-qudit quantum state of level $p$ for sufficiently large prime $p$. Secondly, both constructions show that their exist $k$-uniform $n$-qudit pure quantum states such that $k$ is proportional to $n$, i.e., $k=Ω(n)$ although the construction from symmetric matrices outperforms the one by error-correcting codes. Thirdly, our symmetric matrix construction provides a positive answer to the open question in \cite{DA} on whether there exists $3$-uniform $n$-qudit pure quantum state for all $n\ge 8$. In fact, we can further prove that, for every $k$, there exists a constant $M_k$ such that there exists a $k$-uniform $n$-qudit quantum state for all $n\ge M_k$. In addition, by using concatenation of algebraic geometry codes, we give an explicit construction of $k$-uniform quantum state when $k$ tends to infinity.

研究の動機と目的

• すべての $n \geq 8$ に対して $3$-一様な $n$-クイッド純粋量子状態が存在するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 任意の $n$ に対して、$k$ が $n$ に比例する、すなわち $k = \Omega(n)$ となる $k$-一様な $n$-クイッド量子状態を構成すること。
• 任意の固定された $k$ に対して、$k$-一様状態がすべての $n \geq M_k$ で存在することを確立すること。ここで $M_k$ は $k$ に依存する定数である。
• 特に代数幾何学的符号を用いて、漸近的に $k \to \infty$ となる場合の $k$-一様状態の明示的構成を提供すること。
• 対称行列手法と符号に基づく手法の、高い $k$-一様性を達成する性能を比較すること。

提案手法

• 量子状態の $k$-一様性を $\mathbb{Z}_d^n$ から $\mathbb{C}$ への写像として定義し、このような状態を構成するための同等な特徴づけを提供する。
• 有限体上の対称行列を用いて $k$-一様状態を構成し、その代数的構造を活用して最大混合還元を保証する。
• 最小距離と双対距離が大きな古典的エラー訂正符号を用いて $k$-一様状態を構成し、量子符号と直交配列の双対性を活用する。
• 代数幾何学的符号の連結を用いて、$k$ が無限に近づく場合に $k$-一様状態を達成し、漸近的構成を可能にする。
• 任意の偶数 $n \geq 2$ に対して、十分に大きな素数 $p$ に対して、レベル $p$ における $n/2$-一様な $n$-クイッド状態が存在することを証明する。
• 対称行列手法が、特に $n$ が大きい場合に、符号に基づく手法よりも高い $k$-一様性を達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 8$ に対して、$3$-一様な $n$-クイッド純粋量子状態が存在するか？
• RQ2 $k$-一様な $n$-クイッド状態が、$k$ が $n$ に比例する、すなわち $k = \Omega(n)$ となるように構成可能か？
• RQ3 任意の固定された $k$ に対して、$k$-一様な $n$-クイッド状態がすべての $n \geq M_k$ で存在するような定数 $M_k$ が存在するか？
• RQ4 $k$ が無限に近づく場合に、$k$-一様状態の明示的構成が可能か？
• RQ5 対称行列手法とエラー訂正符号手法の間で、達成可能な $k$-一様性の性能はどのように比較できるか？

主な発見

• 任意の偶数 $n \geq 2$ に対して、十分に大きな素数 $p$ に対して、レベル $p$ における $n/2$-一様な $n$-クイッド量子状態が存在する。
• 両手法とも $k = \Omega(n)$ の $k$-一様状態を生成し、$n$ が大きい場合に高い一様性が達成可能であることを示している。
• 対称行列手法は、DAにおける $3$-一様 $n$-クイッド状態がすべての $n \geq 8$ で存在するかどうかという未解決問題に対して肯定的な答えを提供する。
• 任意の $k$ に対して、$k$-一様な $n$-クイッド状態がすべての $n \geq M_k$ で存在するような定数 $M_k$ が存在する。
• 代数幾何学的符号の連結を用いることで、$k$ が無限に近づく場合の $k$-一様量子状態の明示的構成が得られる。
• 対称行列手法は、特に $n$ が大きい場合に、エラー訂正符号手法よりも高い $k$-一様性を達成する点で優れている。