[論文レビュー] Multiparty Communication Complexity of Disjointness

Arkadev Chattopadhyay, Anil Ada|ArXiv.org|Jan 23, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 63

ひとこと要約

本稿は、『額に数字』モデルにおける離別関数のランダム化 $k$-パーティ通信複雑度に対して、$Ω\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$ の超定数下界を確立する。この結果は、Sherstov の近似多項式次数技術の拡張と、Chattopadhyay による不均一分布のための不一致推定法を組み合わせることで得られる。$k = o(\log\log n)$ の場合に $\text{BPP}^{CC}_{k}$ と $\text{NP}^{CC}_{k}$ を分離し、非決定的複雑度よりも指数的に高いランダム化複雑度を示す最初の明示的関数を提供する。

ABSTRACT

We obtain a lower bound of n^Omega(1) on the k-party randomized communication complexity of the Disjointness function in the `Number on the Forehead' model of multiparty communication when k is a constant. For k=o(loglog n), the bounds remain super-polylogarithmic i.e. (log n)^omega(1). The previous best lower bound for three players until recently was Omega(log n). Our bound separates the communication complexity classes NP^{CC}_k and BPP^{CC}_k for k=o(loglog n). Furthermore, by the results of Beame, Pitassi and Segerlind \cite{BPS07}, our bound implies proof size lower bounds for tree-like, degree k-1 threshold systems and superpolynomial size lower bounds for Lovasz-Schrijver proofs. Sherstov \cite{She07b} recently developed a novel technique to obtain lower bounds on two-party communication using the approximate polynomial degree of boolean functions. We obtain our results by extending his technique to the multi-party setting using ideas from Chattopadhyay \cite{Cha07}. A similar bound for Disjointness has been recently and independently obtained by Lee and Shraibman.

研究の動機と目的

• マルチパーティ通信複雑度におけるギャップを埋めるために、『額に数字』モデルにおける離別関数の強い下界を確立すること。
• 古典的不一致法の制限を克服するため、Sherstov の二パーティ近似多項式次数技術をマルチパーティ設定に拡張すること。
• $k = o(\log\log n)$ の場合に、明示的関数を用いて通信複雑度クラス $\text{BPP}^{CC}_{k}$ と $\text{NP}^{CC}_{k}$ を分離すること。
• 通信複雑度の結果を応用して、木構造で次数 $k-1$ のしきい値系および Lovász-Schrijver 証明系における証明サイズの下界を導出すること。

提案手法

• ブール関数の近似多項式次数に基づく Sherstov の技術を、非一様分布を用いたマルチパーティ設定に拡張する。
• Chattopadhyay [8] の不一致推定ツールを用い、一般化された不一致法における非一様分布を処理する。
• 一般化関数 $G^{f}_{k}(x, y^1, \ldots, y^{k-1}) = f(x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1})$ を使用する。ここで $x \Leftarrow y^1, \ldots, y^{k-1}$ は、各 $y^i$ 行列のすべての1列が立っている位置から $x$ のビットを選択して形成される文字列である。
• 対称関数の近似次数に関する Paturi の定理を適用し、入力サイズ $m$ に対して NOR 関数の次数を $\Theta(\sqrt{m})$ で抑え込む。
• $R^\epsilon_k(G^f_k)$ に対する下界を、不等式 $R^\epsilon_k(G^f_k) \geq \frac{d}{2^{k-1}} + \log(\delta + 2\epsilon - 1)$ を用いて導出する。ここで $d$ は $f$ の $\delta$-近似次数である。
• ブースティングの議論を用いて、$\epsilon > 1/6$ の範囲から任意の定数 $\epsilon > 0$ へと境界を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不一致法は、$k$-パーティ『額に数字』モデルにおける離別関数に対して、超対数的下界を導くように拡張可能だろうか？
• RQ2 マルチパーティ設定において、ランダム化複雑度と非決定的複雑度の間に指数的ギャップを示す明示的関数は存在するだろうか？
• RQ3 Sherstov の近似次数技術は、古典的不一致法の制限を回避するため、マルチパーティ通信モデルに一般化可能だろうか？
• RQ4 強力なマルチパーティ通信下界は、特にしきい値系および Lovász-Schrijver 証明系において、証明複雑度にどのような影響を及ぼすだろうか？

主な発見

• 離別関数の $k$-パーティランダム化通信複雑度は、任意の定数 $\epsilon > 0$ に対して $\Omega\bigg{(}\frac{n^{\frac{1}{k+1}}}{2^{2^{k}}(k-1)2^{k-1}}\bigg{)}$ である。
• 定数 $k$ の場合、これは $n^{\Omega(1)}$ の下界をもたらし、3人プレーヤーの場合の以前の $\Omega(\log n)$ の境界よりも顕著な改善を示す。
• $k = o(\log\log n}$ の場合に $\text{BPP}^{CC}_{k}$ と $\text{NP}^{CC}_{k}$ を分離し、$k$ が定数のとき指数的分離が成立する。
• この境界は、木構造的で次数 $k-1$ のしきい値系における証明サイズの強い下界を示し、命題論理証明複雑度における主要な未解決問題を解決する。
• $G^{\text{OR}}_k$ 関数に対しても同じ下界が適用可能であり、これは $O(\log n)$ ビットの非決定的プロトコルを持つため、$\text{BPP}^{CC}_{k}$ と $\text{NP}^{CC}_{k}$ の分離を確認する。
• 任意の対称関数 $D$ に対して、$G^D_k$ の通信複雑度は $\Omega\bigg{(}\Psi(\ell_0) + \frac{T(\ell_1)}{2^{k-1}}\bigg{)}$ である。ここで $T(n)$ は $n$、$k$、および $D$ の近似次数に依存する関数である。