[論文レビュー] Multiphysics Finite Element Methods for a Poroelasticity Model

Xiaobing Feng, Zhihao Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2つの擬似圧力を導入することで、準静的ポアロ弾性モデルに対する新規なマルチフィジックス有限要素法を提案する。この手法により、系は一般化されたストークス問題と拡散方程式に分解され、離散的エネルギー安定性、最適収束性、および急激な初期圧力変化や制約付き特定貯蔵係数がゼロに近い場合のロッキング現象の排除が保証される。

ABSTRACT

This paper concerns with finite element approximations of a quasi-static poroelasticity model in displacement-pressure formulation which describes the dynamics of poro-elastic materials under an applied mechanical force on the boundary. To better describe the multiphysics process of deformation and diffusion for poro-elastic materials, we first present a reformulation of the original model by introducing two pseudo-pressures, one of them is shown to satisfy a diffusion equation, we then propose a time-stepping algorithm which decouples (or couples) the reformulated PDE problem at each time step into two sub-problems, one of which is a generalized Stokes problem for the displacement vector field (of the solid network of the poro-elastic material) along with one pseudo-pressure field and the other is a diffusion problem for the other pseudo-pressure field (of the solvent of the material). In the paper, the Taylor-Hood mixed finite element method combined with the $P_1$-conforming finite element method is used as an example to demonstrate the viability of the proposed multiphysics approach. It is proved that the solutions of the fully discrete finite element methods fulfill a discrete energy law which mimics the differential energy law satisfied by the PDE solution and converges optimally in the energy norm. Moreover, it is showed that the proposed formulation also has a built-in mechanism to overcome so-called "locking phenomenon" associated with the numerical approximations of the poroelasticity model. Numerical experiments are presented to show the performance of the proposed approach and methods and to demonstrate the absence of "locking phenomenon" in our numerical experiments.

研究の動機と目的

• 急激な初期圧力変化に伴う有限要素近似における数値不安定性とされる「ロッキング現象」を解消すること。
• 時間積分法として、変位と1つの擬似圧力に関する一般化されたストークス問題と、他の擬似圧力に関する拡散問題に分離可能なアルゴリズムを構築すること。
• 保存量から導かれる適切な境界条件を導出し、一般化されたストークス問題の解の一意存在性を保証するとともに、その解を介して両問題を結合すること。
• 完全離散有限要素スキームが離散エネルギー法則を満たし、エネルギーノルムにおいて最適収束を達成することを示すこと。
• 制約付き特定貯蔵係数がゼロに近づく極限過程において、本手法がバイオトの定着モデルを回復することを示すこと。

提案手法

• 元のポアロ弾性モデルを、2つの擬似圧力の導入により再定式化し、そのうちの1つが拡散方程式を満たすようにすることで、系の分離を可能にする。
• 時間離散化された系を、変位と1つの擬似圧力に関する一般化されたストークス問題と、他の擬似圧力に関する拡散問題に分離する。
• PDE解の保存量を用いて、一般化されたストークス問題の解の一意存在性を保証する境界条件を構築する。
• 一般化されたストークス問題の解から得られる境界条件を拡散問題に適用し、一貫性と一意性を保証する。
• 速度と圧力にはテイラー＝フッド混合有限要素法を、擬似圧力にはP1連続有限要素法を用い、各部分問題に対して既存のソルバーをそのまま利用可能にする。
• 完全離散スキームが連続エネルギー法則を模倣する離散エネルギー法則を満たし、エネルギーノルムにおいて最適収束を達成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアロ弾性系を2つの解ける部分問題に分離するマルチフィジックス有限要素法を設計可能か。この際、安定性と精度を保持できるか。
• RQ2 時間積分法における一般化されたストークス問題と拡散問題の両方の解の一意存在性をどのように保証できるか。
• RQ3 本手法は、従来の混合有限要素法で観察された急激な初期圧力変化下でのロッキング現象を排除できるか。
• RQ4 制約付き特定貯蔵係数がゼロに近づく極限において、本手法はどのように振る舞い、バイオトの定着モデルを回復するか。
• RQ5 ストークス問題と拡散問題の既存ソルバーを変更せずに、本手法を実装可能か。

主な発見

• 境界条件を保存量から導出し、部分問題間の結合を介して、両部分問題の解の一意存在性を保証する。
• 完全離散有限要素スキームが、PDE解の連続エネルギー法則を模倣する離散エネルギー法則を満たす。
• 厳密な誤差推定により、エネルギーノルムにおいて最適収束率が達成されていることが証明された。
• 数値実験により、圧力の振動が見られず、急激な初期圧力変化下ですらロッキング現象が排除されていることが確認された。
• 制約付き特定貯蔵係数がゼロに近づく極限においても本手法は安定であり、正しくバイオトの定着モデルを回復した。
• 圧力の正則性に依存しないため、圧力が主変数ではなく擬似圧力から導出される量であるため、本手法は圧力場の正則性に敏感ではない。