[論文レビュー] Multiple block sizes and overlapping blocks for multivariate time series extremes

Nan Zou, Stanislav Volgushev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多変量ブロック最大値手法における重複ブロックと複数のブロックサイズの使用を提案し、バイアスを増加させることなく漸近的分散を低減することで、ブロックサイズにわたる一様な関数的中心極限定理を達成する。この手法により、バイアス補正推定量を用いた収束速度の向上により、極値コピュラおよび2次パラメータの推定が改善される。

ABSTRACT

Block maxima methods constitute a fundamental part of the statistical toolbox in extreme value analysis. However, most of the corresponding theory is derived under the simplifying assumption that block maxima are independent observations from a genuine extreme value distribution. In practice however, block sizes are finite and observations from different blocks are dependent. Theory respecting the latter complications is not well developed, and, in the multivariate case, has only recently been established for disjoint blocks of a single block size. We show that using overlapping blocks instead of disjoint blocks leads to a uniform improvement in the asymptotic variance of the multivariate empirical distribution function of rescaled block maxima and any smooth functionals thereof (such as the empirical copula), without any sacrifice in the asymptotic bias. We further derive functional central limit theorems for multivariate empirical distribution functions and empirical copulas that are uniform in the block size parameter, which seems to be the first result of this kind for estimators based on block maxima in general. The theory allows for various aggregation schemes over multiple block sizes, leading to substantial improvements over the single block length case and opens the door to further methodology developments. In particular, we consider bias correction procedures that can improve the convergence rates of extreme-value estimators and shed some new light on estimation of the second-order parameter when the main purpose is bias correction.

研究の動機と目的

• 有限のブロックサイズおよびブロック間の依存性の下で、多変量時系列におけるブロック最大値手法の理論的整備の不足に対処する。
• 非交差ブロックの制限を克服するため、漸近的分散を低減する重複ブロックを導入し、多変量経験的分布関数およびコピュラにおける分散を低減する。
• ブロックサイズパラメータに関して一様である関数的中心極限定理を確立する。これは、ブロック最大値推定量において、これまでにない新規な結果である。
• 複数のブロックサイズを用いたバイアス補正手順を可能にし、極値推定量の収束速度を向上させる。
• 複数のブロックサイズにわたる推定量の集約の理論的基盤を提供し、極値推論における頑健性および効率性を向上させる。

提案手法

• 成分ごとのブロック最大値の経験的分布関数における漸近的分散を低減するために、非交差ブロックの代わりに重複ブロックを用いる。
• ブロックサイズパラメータに関して一様である多変量経験的分布関数および経験的コピュラの関数的中心極限定理を導出する。
• 極限定理の一様性を活用し、複数のブロックサイズにわたる推定量の集約スキームを提案し、分散を低減する。
• 回帰ベースまたはナーディブ集約アプローチを用いて、複数のブロックサイズに基づくバイアス補正推定量を提案し、収束速度を向上させる。
• 理論を、極値モデルにおける2次パラメータの推定に適用し、特にコピュラ推定におけるバイアス低減の改善に焦点を当てる。
• 混合係数および依存度量を用いて、重複ブロック最大値間の依存構造を制御し、理論的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複ブロックは、漸近的バイアスを増加させることなく、多変量ブロック最大値推定量の漸近的分散を低減できるか？
• RQ2 重複ブロックを用いる場合、異なるブロックサイズにわたる多変量経験過程の関数的中心極限定理は、有効かつ一様に成立するか？
• RQ3 複数のブロックサイズにわたる集約は、単一ブロックサイズ法と比較して、極値コピュラ推定量の収束速度を向上させることができるか？
• RQ4 重複ブロックの使用は、極値モデルにおける2次パラメータ推定にどのように影響するか？
• RQ5 中程度の次元数において、複数の重複ブロックサイズに基づくバイアス補正推定量の計算的実行可能性および効率性はいかがなものか？

主な発見

• 非交差ブロックと比較して、重複ブロックは多変量経験的分布関数および経験的コピュラの漸近的分散を一様に低減するが、漸近的バイアスの増加はない。
• 本稿では、ブロックサイズパラメータに関して一様である関数的中心極限定理を確立した。これは、ブロック最大値推定量において、これまでに得られていなかった結果である。
• 複数のブロックサイズにわたる推定量の集約は、シミュレーション研究で示されたように、顕著な分散低減と平均二乗誤差の改善をもたらす。
• 複数のブロックサイズに基づくバイアス補正推定量は、標準推定量と比較して収束速度が速く、特に2次パラメータ推定において顕著である。
• バイアス補正推定量の計算時間は管理可能であり、$d=8$ および $n=5000$ の条件下ですら、$ ho$ を複数回計算しても評価時間は5秒未満である。
• 提案手法は、$t$-コピュラおよび外力変換付きクラッリー・コピュラを含むさまざまなコピュラ族に適用可能であり、その漸近的挙動について理論的支援が得られている。