[論文レビュー] Multiple-choice Vector Bin Packing: Arc-flow Formulation with Graph Compression

Filipe Brandão, João Pedro Pedroso|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Optimization and Packing Problems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複数選択型ベクトルビンパッキング問題（MVBP）を解くためのアーキペッキング形式とグラフ圧縮を提案する。この手法により、有効なパッキングパターンを有向無閉路多重グラフとしてコン act に表現でき、正確な解法が効率的に行える。ベンチマークインスタンスにおいて平均1秒未塔の解法時間を達成し、変動サイズのビンパッキング問題に対して優れた性能とスケーラビリティを示している。

ABSTRACT

The vector bin packing problem (VBP) is a generalization of bin packing with multiple constraints. In this problem we are required to pack items, represented by p-dimensional vectors, into as few bins as possible. The multiple-choice vector bin packing (MVBP) is a variant of the VBP in which bins have several types and items have several incarnations. We present an exact method, based on an arc-flow formulation with graph compression, for solving MVBP by simply representing all the patterns in a very compact graph. As a proof of concept we report computational results on a variable-sized bin packing data set.

研究の動機と目的

• アイテムが複数の形態を持ち、ビンが異なる容量とコストを持つ複数のタイプを持つ複数選択型ベクトルビンパッキング問題（MVBP）を解く課題に対処すること。
• すべてのパターンを明示的に列挙しない、コンパクトで効果的な整数プログラミングモデルをMVBPに開発すること。
• グラフ圧縮技術が、解の品質を損なわせることなくアーキペッキング形式のサイズを小さくする方法を示すこと。
• 文献に登録された大規模な変動サイズのビンパッキングインスタンスにおいて、本手法のスケーラビリティと効率性を示すこと。

提案手法

• ソースからターゲットへの各パスが、特定のビンタイプの有効なパッキングパターンを表す有向無閉路多重グラフを構築する。
• BrandãoとPedroso（2013）のアルゴリズムを用いて初期のアーキペッキンググラフを生成し、アイテムの形態を別個の実体として統合する。
• 各次元における最長経路距離を用いてノードを再ラベル化する最終的なグラフ圧縮手順を適用し、重複するノードとエッジを削減する。
• 同じアイテムの異なる形態に対応する並行エッジを削除し、重複を避けるために1つの代表エッジのみを保持する。
• 合計ビンコストを最小化する混合整数計画問題としてMVBPを定式化し、フロー変数をパターン使用量として定義し、アイテム需要とビン容量制限を満たす制約を設ける。
• 最良のMIPソルバー（Gurobi 5.5.0）を用いて、妥当性とギャップ制御に最適化されたパラメータを設定して、得られたモデルを解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ圧縮を用いたアーキペッキング形式は、複数選択型ベクトルビンパッキング問題を効果的にモデル化・解釈できるか？
• RQ2 グラフ圧縮は、すべての有効なパッキングパターンを保持しながら、アーキペッキング形式のサイズをどのように小さくするか？
• RQ3 本手法は、標準ベンチマークインスタンスにおける変動サイズのビンパッキング問題に対して、計算上の性能はいかがなっているか？
• RQ4 アイテム数やビンタイプ数の増加に伴い、本手法はどの程度スケーラブルか？
• RQ5 既存のアプローチと比較して、本手法の効率性と解の品質はどの程度優れているか？

主な発見

• 変動サイズのビンパッキング問題の300インスタンスに対して平均解法時間が1秒未塔であり、1インスタンスあたり6秒を超えるものもなかった。
• 最終的なグラフ圧縮手順により、ノード数が平均58%、エッジ数が平均40%削減された。
• 500アイテムを含むインスタンスでは、平均探索ノード数が0.0であったため、最適解への収束が極めて速かった。
• 全300インスタンスが時間制限内に最適解として解かれた。MIPギャップは0、絶対ギャップ許容誤差は1e-5に設定された。
• 本手法は高いスケーラビリティを示し、最大500アイテムと5種類のビンタイプを含む大規模インスタンスに対しても、低解法時間で対応できた。
• X=1、X=2、X=3の異なるアイテムサイズ範囲においても、一貫した1秒未塔の実行時間となり、性能が安定していた。