[論文レビュー] Multiple codings for self-similar sets with overlaps

Karma Dajani, Kan Jiang+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の完全重複を示す自己相似集合の構造を調査し、各点の符号化（展開）の数に注目する。点がちょうど1つの符号化を持つ集合が閉集合であるための必要十分条件は、可算無限個の符号化を持つ点が存在しないことであることを示し、k個の符号化を持つ点の集合のハウスドルフ次元について明示的な公式を導出し、k ≥ 2 の場合にそのハウスドルフ測度が無限大であることを証明するとともに、k個または無限個の符号化を持つ点における自己相似測度の局所次元を計算する。

ABSTRACT

In this paper we consider a general class $\mathcal E$ of self-similar sets with complete overlaps. Given a self-similar iterated function system $Φ=(E, \{f_i\}_{i=1}^m)\in\mathcal E$ on the real line, for each point $x\in E$ we can find a sequence $(i_k)=i_1i_2\ldots\in\{1,\ldots,m\}^\mathbb N$, called a coding of $x$, such that $$ x=\lim_{n o\infty}f_{i_1}\circ f_{i_{2}}\circ\cdots\circ f_{i_n}(0). $$ For $k=1,2,\ldots, \aleph_0$ or $2^{\aleph_0}$ we investigate the subset $\mathcal U_k(Φ)$ which consists of all $x\in E$ having precisely $k$ different codings. Among several equivalent characterizations we show that $\mathcal U_1(Φ)$ is closed if and only if $\mathcal U_{\aleph_0}(Φ)$ is an empty set. Furthermore, we give explicit formulae for the Hausdorff dimension of $\mathcal U_k(Φ)$, and show that the corresponding Hausdorff measure of $\mathcal U_k(Φ)$ is always infinite for any $k\ge 2$. Finally, we explicitly calculate the local dimension of the self-similar measure at each point in $\mathcal U_k(Φ)$ and ${U_{\aleph_0}(Φ)}$.

研究の動機と目的

• 完全重複を示す自己相似集合の構造を分析し、特に多重符号化を持つ点の分布を考察すること。
• 正確にk個の符号化を持つ点の集合の位相的性質を特徴づけること、特に一意符号化集合の閉包について。
• 正確にk個の符号化を持つ点の集合のハウスドルフ次元と測度を計算すること。
• k個または可算無限個の符号化を持つ点における自己相似測度の局所次元を特定すること。
• 非整数基数展開やベルヌーイ畳み込みに関する結果を、重複を有する自己相似系のより広いクラスへと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、隣接する写像間での重複が生じる自己相似自己関数系（IFS）のクラス E を定義する。
• 彼らは、吸引集合内の点を符号化の数によって分類し、U_k(Φ) はちょうどk種の異なる符号化を持つ点の集合を表す。
• 幾何学的および組合せ的技法を用いて、縮小率と重複構造に基づき、U_k(Φ) のハウスドルフ次元の明示的公式を導出する。
• 局所次元の分析は、U_k(Φ) および U_ℵ₀(Φ) 内の点の周囲の小さな球における測度の増加率を調べることで行われ、再帰的不等式と漸近的解析を用いる。
• 証明は、入れ子になった区間の構成と、写像の列による測度増加の推定を含み、確率と縮小率の対数を含む極限に帰着する。
• 彼らは、U_1(Φ) の閉包と U_ℵ₀(Φ) の空集合との間に双対性を確立し、位相的および距離的議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全重複を示す自己相似集合において、一意符号化を持つ点の集合が閉集合であるための条件は何か？
• RQ2 このような系における正確にk個の符号化を持つ点の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 なぜk ≥ 2の場合に、正確にk個の符号化を持つ点の集合のハウスドルフ測度は常に無限大になるのか？
• RQ4 k個の符号化または可算無限個の符号化を持つ点において、自己相似測度の局所次元はどのように変化するか？
• RQ5 自己相似測度の局所次元は、IFSの確率および縮小率の観点から明示的に計算可能か？

主な発見

• U_1(Φ) が閉集合であることと、U_ℵ₀(Φ) が空集合であることは同値であり、系に対して位相的二分法を確立する。
• U_k(Φ) のハウスドルフ次元は、縮小率と重複構造に依存する明示的公式により与えられ、k ≥ 2 の場合、全吸引集合 E の次元より厳密に小さい。
• すべてのk ≥ 2 に対して、U_k(Φ) のハウスドルフ測度は無限大である。これは、これらの集合が位相的次元では小さいものの、測度的意味では大きいことを示している。
• U_k(Φ) 内の点における自己相似測度 μ_p の局所次元は、符号化に関与する写像の確率および縮小率を含む最小最大化公式により与えられる。
• U_ℵ₀(Φ) 内の点では、無限符号化列から導かれる候補値の集合の下限によって局所次元が決定され、展開構造の複雑さが反映される。
• 局所次元は各U_k(Φ) および U_ℵ₀(Φ) で定数であり、r → 0 の極限における log μ_p(B(x,r)) / log r の極限として計算可能である。