[論文レビュー] Multiple Dirichlet series and moments of zeta and L-functions

Adrian Diaconu, Dorian Goldfeld+1 more|ArXiv.org|Oct 9, 2001

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ GL(3) $ $ L $-関数の二次的ねじれに関連する完璧な多重ディリクレ級数 $ Z^*(s,s,s,w) $ の単純なメロモルフィックな拡張を、関数等式と新規のふnowing法を用いて確立する。主な結果は、$ L(1/2, f, \chi_d)^3 $ の平均値における誤差項のハイブリッド評価 $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $ であり、従来の評価を改善し、対称性と関数等式を用いた解析的接続を確認する。

ABSTRACT

This paper develops an analytic theory of Dirichlet series in several complex variables which possess sufficiently many functional equations. In the first two sections it is shown how straightforward conjectures about the meromorphic continuation and polar divisors of certain such series imply, as a consequence, precise asymptotics (previously conjectured via random matrix theory) for moments of zeta functions and quadratic L-series. As an application of the theory, in a third section, we obtain the current best known error term for mean values of cubes of central values of Dirichlet L-series. The methods utilized to derive this result are the convexity principle for functions of several complex variables combined with a knowledge of groups of functional equations for certain multiple Dirichlet series.

研究の動機と目的

• $ GL(3) $ 自形式の $ L $-関数の三重積に二次的特徴をかけた関連する完璧な多重ディリクレ級数 $ Z^*(s,s,s,w) $ のメロモルフィックな拡張を確立すること。
• [G–H] のものに類似したふnowing法を開発し、改善されていない級数を完璧な級数から再構成すること。
• $ L(1/2, f, \chi_d)^3 $ の非零性結果と、$ GL(3) $ カスプ形式の対称平方 $ L $-関数の解析的接続を導出すること。
• $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ の平均値における誤差項を複素解析と関数等式を用いて分析すること。
• $ m=3 $ の関数等式の群が有限群をなすことを示し、そのことによって凸包の議論を用いた解析的接続を可能にすること。

提案手法

• すべての変数においてメロモルフィックな拡張と関数等式を保証する補正因子を組み込んだ、完璧な多重ディリクレ級数 $ Z^*(s_1,s_2,s_3,w) $ を用いる。
• $ L $-関数の関数等式と級数の対称性を用いて、重なり合う領域を生成し、その凸包が $ \mathbb{C}^4 $ であることを示し、複素変数関数論の定理を用いて解析的接続を可能にする。
• ふnowing法を用いて完璧な級数と改善されていない級数 $ Z(s,s,s,w) $ を関連づけ、解析的性質の移行を可能にする。
• Lemma 4.20 と Proposition 4.18 を用いて $ \mathcal{O} $-評価で積分と誤差項を推定し、$ \sigma, T, \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ のパラメータを巧みに選ぶことで誤差寄与をバランスさせる。
• 積分 $ I_2, I_3, I_4 $ からの複数の誤差項、極の寄与、切り捨て誤差を最適化されたパラメータによってバランスさせ、総誤差を最小化する。
• $ m=3 $ における一意性原理を用い、補正因子が関数等式によって完全に決定されることを示し、構成の整合性と完全性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ GL(3) $ 自形式のための完璧な多重ディリクレ級数 $ Z^*(s,s,s,w) $ は $ \mathbb{C}^4 $ に解析的接続可能か？
• RQ2 $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ の平均値における最良の誤差評価は何か？ また、関数等式とふnowing法を用いて改善可能か？
• RQ3 完璧な級数における補正因子は、多重ディリクレ級数の解析的性質と関数等式にどのように影響を与えるか？
• RQ4 関数等式群は解析的接続を保証する役割を果たすが、なぜ $ m \geq 4 $ では有限群とならないのか？
• RQ5 ふnowing法を用いて改善されていない級数 $ Z(s,s,s,w) $ を $ Z^*(s,s,s,w) $ から再構成可能か？ また、平均値定理への影響は何か？

主な発見

• $ Z^*(s,s,s,w) $ が $ \mathbb{C}^4 $ にメロモルフィックに拡張可能であることが示され、$ m=3 $ の関数等式群の有限性に依拠している。
• $ |L(1/2, f, \chi_d)|^3 $ の平均値における総誤差は $ \mathcal{O}(x^{0.853366 + \epsilon}) $ で抑えられ、ここで $ 0.853366 \approx \frac{1}{36}(47 - \sqrt{265}) $ である。
• 2 やレベルを割らない素数に対する補正因子は、関数等式によって完全に決定され、$ m=3 $ における一意性原理が確認された。
• $ GL(3) $ カスプ形式の対称平方 $ L $-関数の解析的接続は、$ Z^*(s,s,s,w) $ の $ w=1 $ における留数を用いて再確認された。
• ふnowing法により、改善されていない級数を完璧な級数から成功裏に再構成でき、平均値結果の導出が可能となった。
• 誤差項はパラメータ $ \gamma, \alpha, \beta, \theta_0 $ の最適化によりバランスされ、誤差評価を最小化するための条件 $ \theta_0 > \frac{1}{18}(29 - \sqrt{265}) $ が満たされている。