[論文レビュー] Multiple Elliptic Polylogarithms

Francis Brown, A. Levin|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

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ひとこと要約

本稿では、複素楕円曲線上の $ n+1 $ 個のマークされた点の配置空間上の多価関数として、多重楕円ポリログラスを導入する。これは、単調性を保証する平均化手続きによって構成される。主な貢献は、この空間上の反復積分（特に、穴あき楕円曲線の単調基本群の周期を含む）が、すべてこれらの関数によって表現可能であることを示したことである。これは、 genus 0 の幾何における多重ポリログラスの役割を genus 1 の幾何へ一般化するものである。

ABSTRACT

We study the de Rham fundamental group of the configuration space $E^{(n)}$ of $n+1$ marked points on an elliptic curve $E$, and define multiple elliptic polylogarithms. These are multivalued functions on $E^{(n)}$ with unipotent monodromy, and are constructed by a general averaging procedure. We show that all iterated integrals on $E^{(n)}$, and in particular the periods of the unipotent fundamental group of the punctured curve $E \backslash \{0\}$, can be expressed in terms of these functions.

研究の動機と目的

• 高世代周期のための楕円曲線版多重ポリログラスの構成。
• 楕円曲線上のマークされた点の配置空間における反復積分の普遍的枠組みの定義。
• $ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ の単調基本群のすべての周期が、これらの関数から生じることの証明。
• 穴あき楕円曲線の de Rham 基本群族における $ \mathbb{Q} $-構造の確立。

提案手法

• 楕円曲線 $ \mathcal{E} $ 上の $ n+1 $ 個のマークされた点の配置空間 $ \mathcal{E}^{(n)} $ の de Rham 基本群を使用する。
• 単調性を保証する一般化された平均化手続きを用いて、単調性を持つ多重楕円ポリログラスを構成する。
• Chen の反復積分理論および de Rham コホホロジー複体上のバー構成を用いて、ホモトピー不変積分を記述する。
• Arnold の関係を満たす形式 $ \frac{dt_i}{t_i}, \frac{dt_i}{1-t_i}, \frac{dt_i - dt_j}{t_i - t_j} $ を持つ有理的モデルを de Rham コホホロジー複体に用いる。
• 長さフィルトレーションに関する付随的グレード付きに射影することで、反復積分の構造を分析する。
• $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上のすべての反復積分が、関数 $ r - r_\varrho = \int_\varrho^\xi \overline{\nu} $ と平均化手続きの係数の積の線形結合として生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 0 における役割を果たす多重ポリログラスを、楕円曲線へどのように一般化できるか？
• RQ2 楕円曲線上の $ n+1 $ 個のマークされた点の配置空間 $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上の反復積分の代数的・解析的構造は何か？
• RQ3 $ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ の単調基本群のすべての周期が、普遍的関数クラスによって表現可能か？
• RQ4 de Rham 基本群族 $ \mathcal{E}^\times $ における $ \mathbb{Q} $-構造は何か？ そして、これらの関数とどのように関係するか？

主な発見

• $ \mathcal{E}^{(n)} $ 上のすべての反復積分（特に、$ \mathcal{E} \setminus \{0\} $ の単調基本群の周期を含む）が、多重楕円ポリログラスによって表現可能である。
• $ \varrho\Pi_\xi(\mathcal{E}^\times) $ の周期は、$ r - r_\varrho $ と平均化手続きの係数（$ \alpha_i $ に関して）によって生成される $ \mathbb{Q} $-代数に属する。
• $ V(X_{F_n}) $ の任意の要素の反復積分は、$ r - r_\varrho $ と平均化プロセスからの生成系列の積の線形結合として現れる。
• $ V(X_{F_n}) $ の付随的グレード付きは、$ \mathbb{Q} \overline{\nu} \oplus \mathbb{Q} \overline{\omega}^{(0)} \oplus \bigoplus \mathbb{Q} \overline{\eta}_{\sigma_i} $ 上のテンソル代数と同型である。これにより、関数の代数的構造が確認される。
• 定理 26 を用いて、接点ベースポイントおよび高次元ファイバーへ一般化可能であり、すべての $ \mathcal{E}^{(n)} $ にその結果が拡張される。