[論文レビュー] Multiple expansions of real numbers with digits set $\{0,1,q\}$

Karma Dajani, Kan Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非整数底 q における桁集合 {0, 1, q} を用いた実数の多重展開を考察する。k ≥ 2 に対して、正確に k 個の異なる q 展開をもつような底 q の集合は (q_c, ∞) に等しく、ここで q_c ≈ 2.32472 は方程式 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 の実数解である。主な結果として、任意の k ≥ 2 に対して、正確に k 個の展開をもつ数の集合のハウスドルフ次元は、一意展開集合（univoque set）のそれと等しくなる。また、連続濃度の展開をもつ数の集合は、E_q においてフルハウスドルフ次元をもつ。

ABSTRACT

For $q>1$ we consider expansions in base $q$ over the alphabet $\{0,1,q\}$. Let $\mathcal{U}_q$ be the set of $x$ which have a unique $q$-expansions. For $k=2, 3,\cdots,\aleph_0$ let $\mathcal{B}_k$ be the set of bases $q$ for which there exists $x$ having $k$ different $q$-expansions, and for $q\in \mathcal{B}_k$ let $\mathcal{U}_q^{(k)}$ be the set of all such $x$'s which have $k$ different $q$-expansions. In this paper we show that \[ \mathcal{B}_{\aleph_0}=[2,\infty),\quad \mathcal{B}_k=(q_c,\infty)\quad extrm{for any}\quad k\ge 2, \] where $q_c\approx 2.32472$ is the appropriate root of $x^3-3x^2+2x-1=0$. Moreover, we show that for any positive integer $k\ge 2$ and any $q\in\mathcal{B}_{k}$ the Hausdorff dimensions of $\mathcal{U}_q^{(k)}$ and $\mathcal{U}_q$ are the same, i.e., \[ \dim_H\mathcal{U}_q^{(k)}=\dim_H\mathcal{U}_q\quad extrm{for any}\quad k\ge 2. \] Finally, we conclude that the set of $x$ having a continuum of $q$-expansions has full Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• q > 1 であるような底 q の集合を特徴づけること。ここで、{0, 1, q} の桁を用いて正確に k 個の異なる q 展開をもつ実数が存在する。
• 正確に k 個の q 展開をもつ数の集合のハウスドルフ次元を特定すること。特に、k=1 のときの univoque set（一意展開集合）と比較すること。
• 連続濃度の q 展開をもつ数の集合の構造とサイズを調査すること。
• 特に臨界値 q_c の周辺において、展開の多重性がどのように変化するかを理解すること。

提案手法

• B_k を、ある x ∈ E_q が正確に k 個の異なる q 展開をもつような q > 1 の集合と定義する。
• d ∈ {0, 1, q} に対して φ_d(x) = (x + d)/q で定義される反復関数系（IFS）を用い、E_q を重なりをもつ自己相似集合としてモデル化する。
• 記号的力学系と有限型の符号的シフトを用いて q 展開の構造を分析し、一意展開および多重展開に対応する符号列の集合を特徴づける。
• 展開多重性の異なる領域を分ける臨界底 q_c を、方程式 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 の実数解として定義する。
• 開集合条件やグラフに依存する構成を含むフラクタル幾何学的手法を用い、ハウスドルフ次元を計算する。
• 補題および構造的結果を用いて、k ≥ 2 に対して U_q^(k) と U_q のハウスドルフ次元を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 2 および k = ℵ₀ または 2^ℵ₀ のとき、{0, 1, q} の桁を用いて正確に k 個の異なる q 展開をもつ実数が存在するような底 q > 1 はどれか？
• RQ2 正確に k 個の異なる q 展開をもつ数の集合のハウスドルフ次元は何か？ また、univoque set U_q のそれとどのように比較できるか？
• RQ3 連続濃度の q 展開をもつ数の集合は、E_q においてフルハウスドルフ次元をもつだろうか？
• RQ4 区間 (q_c, q*) において、U_q のハウスドルフ次元の均一な公式は存在するだろうか？
• RQ5 関数 D(q) = dim_H(U_q) は、区間 (q_c, q*) においてデービルの階段（Devil’s staircase）の性質を示すだろうか？

主な発見

• 連続濃度の q 展開をもつ数を許容する底の集合 B_ℵ₀ は [2, ∞) に等しく、すべての k ≥ 2 に対して B_k = (q_c, ∞) である。ここで q_c ≈ 2.32472 は方程式 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 の実数解である。
• 任意の整数 k ≥ 2 および任意の q ∈ B_k に対して、正確に k 個の q 展開をもつ数の集合 U_q^(k) のハウスドルフ次元は、univoque set U_q のそれと等しい。
• U_q のハウスドルフ次元が正であることは、q > q_c であることに同値である。
• q = 3 のとき、すべての k ≥ 2 に対して dim_H(U_q^(k)) = log(q_c)/log(3) ≈ 0.767877 であり、dim_H(U_q^(2^ℵ₀)) = log(q*)/log(3) ≈ 0.876036 である。ここで q* = (3 + √5)/2 である。
• q = 1 + √2 ∈ (q_c, q*) のとき、dim_H(U_q) ≈ 0.691404 であり、すべての k ≥ 2 に対して dim_H(U_q^(k)) はこの値に等しい。
• q ∈ B_2 extbackslash (q_c, q*) のとき、正確に可算無限個の展開をもつ数の集合 U_q^(ℵ₀) は可算である。一方、(q_c, q*) 内にこのような q が存在する場合、そのような q に対して正のハウスドルフ次元をもつ可能性があるが、これは未解決の問題である。