[論文レビュー] Multiple factor analysis of distributional data

Rosanna Verde, Antonio Irpino|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

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ひとこと要約

本稿では、分布価値変数から導出された分位数変数を用いて、分布データに対する多重因子分析（MFA）フレームワークを提案する。二乗$L_2$ Wasserstein距離を測度として用いることで、位置、スケール、形状に関連するばらつきを分解し、因子平面における解釈可能な次元削減および分布の可視化を可能にする。

ABSTRACT

In the framework of Symbolic Data Analysis (SDA), distribution-variables are a particular case of multi-valued variables: each unit is represented by a set of distributions (e.g. histograms, density functions or quantile functions), one for each variable. Factor analysis (FA) methods are primary exploratory tools for dimension reduction and visualization. In the present work, we use Multiple Factor Analysis (MFA) approach for the analysis of data described by distributional variables. Each distributional variable induces a set new numeric variable related to the quantiles of each distribution. We call these new variables as extit{quantile variables} and the set of quantile variables related to a distributional one is a block in the MFA approach. Thus, MFA is performed on juxtaposed tables of quantile variables. \\ We show that the criterion decomposed in the analysis is an approximation of the variability based on a suitable metrics between distributions: the squared $L_2$ Wasserstein distance. \\ Applications on simulated and real distributional data corroborate the method. The interpretation of the results on the factorial planes is performed by new interpretative tools that are related to the several characteristics of the distributions (location, scale and shape).

研究の動機と目的

• 分布（ヒストограм、密度関数、分位数関数など）として表現される個体を扱えるように、多重因子分析（MFA）を拡張すること。
• 既存のPCA手法において、スケールや形状のばらつきを無視する傾向があるため、分布データに対する原理的で測度に基づくアプローチの欠如を是正すること。
• 分布間の$L_2$ Wasserstein距離を明示的に用いてばらつきをモデル化することで、幾何学的・統計的整合性を確保する手法の開発。
• 因子平面の構造と分布的特徴（位置、スケール、形状）を結びつける解釈可能な可視化ツールの提供。
• 因子空間における分位数変数の関係を理解するための新規解釈ツール（例：スペインファン図）の導入。

提案手法

• 各分布的変数を、1つのブロックとして扱う分位数変数の集合に変換する。各分位数は数値変数に対応する。
• 各分布的変数に対応するブロックを有する、分位数変数の結合テーブルにMFAを適用する。
• 二乗$L_2$ Wasserstein距離を測度として用い、ばらつきを定義することで、分位数変数の分散共分散行列のトレースが、元の分布的変数の分布的分散を近似することを保証する。
• 因子軸の解釈を通じて、位置（平均）、スケール（散らばり）、形状（尖度、歪度）に関連する総慣性の成分に分解する。
• 因子平面に投影された分位数変数の構造を可視化するためのスペインファン図を導入し、ファンの形状が分布的特徴と関連することを明示する。
• 分布データの主要なばらつき源を捉える主成分を抽出することで、次元削減を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率分布として表現される分布データを扱えるように、多重因子分析（MFA）をどのように拡張できるか。
• RQ2 二乗$L_2$ Wasserstein距離の下で、分布的変数の分散とその分位数変数の共分散構造の関係は何か。
• RQ3 MFAの最初の因子軸が、分布の位置、スケール、形状に起因するばらつきをどの程度捉えているか。
• RQ4 MFAの結果を、平均、散らばり、尖度といった分布的特徴の観点からどのように解釈できるか。
• RQ5 スペインファン図のような新規可視化ツールは、因子平面における分布データの構造を効果的に伝えることができるか。

主な発見

• 分位数変数の分散共分散行列のトレースは、元の分布的変数の$L_2$ Wassersteinに基づく分散を近似する。これは、本手法の測度的一致性を裏付ける。
• 最初の因子軸は主に位置（平均）の差異によって駆動され、スケールや形状成分の影響は最小限である。
• スケールや形状のばらつきは、高次元における短い固有値によって示されるように、総慣性にほとんど寄与しない。
• スペインファン図は、分位数変数の構造を効果的に可視化しており、ファンの形状が分布の尖度と散らばりを反映している。
• BLOODデータセットにおいて、ヘモグロビンとヘマトクリットは強く正の相関を示し、若年層で平均値が高くなる傾向があり、生物学的期待と整合的である。
• 分布の尖度値（例：M-20 および F-20）から、因子平面の上部に位置する分布は下部の分布よりもばらつきが小さく、尖っていないことが確認され、形状に基づく分離が裏付けられた。