[論文レビュー] Multiple front standing waves in the FitzHugh-Nagumo equations

Chao-Nien Chen, Éric Séré|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 43被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、サドル・フォーカス型の平衡点を有する FitzHugh-Nagumo 方程式において、安定および不安定な複数のフロントを有する定常波の存在を確立する。非局所的リャプノフ＝シュミット還元と精密な変分的特徴付けを用いて、基本的フロント解とその逆解を接合することで、N 個のフロントを有するマルチバンプ解を構成し、臨界点の型とエネルギー準位構造に基づき、その安定性または不安定性を証明する。

ABSTRACT

There have been several existence results for the standing waves of FitzHugh-Nagumo equations. Such waves are the connecting orbits of an autonomous second-order Lagrangian system and the corresponding kinetic energy is an indefinite quadratic form in the velocity terms. When the system has two stable hyperbolic equilibria, there exist two stable standing fronts, which will be used in this paper as building blocks, to construct stable standing waves with multiple fronts in case the equilibria are of saddle-focus type. The idea to prove existence is somewhat close in spirit to [Buffoni-Sere, CPAM 49, 285-305]. However several differences are required in the argument: facing a strongly indefinite functional, we need to perform a nonlo-cal Lyapunov-Schmidt reduction; in order to justify the stability of multiple front standing waves, we rely on a more precise variational characterization of such critical points. Based on this approach, both stable and unstable standing waves are established.

研究の動機と目的

• 平衡点がサドル・フォーカス型である場合の FitzHugh-Nagumo システムにおける複数フロント定常波解の存在を確立すること。
• 基本的フロントとその逆解を構成要素として用いることで、以前の存在結果を拡張し、複数フロントを有する解を構成すること。
• 臨界点の厳密な変分的特徴付けを提供し、安定および不安定なマルチバンプ解を区別すること。
• 解の安定性を、精密なエネルギー準位解析および並進に関して成り立つパライス＝スムース条件を用いて分析すること。
• このような解が存在し、構造的に安定である正確なパrameter 範囲 — 特に β ∈ (0, 1/2)、γ = 9/(2β² − 5β + 2)、d が特定の区間内にある場合 — を同定すること。

提案手法

• 定常波問題を、不定な運動エネルギー形式を有する2階のラグランジュ系として定式化する。
• ラグランジュから生じる強不定な汎関数を取り扱うために、非局所的リャプノフ＝シュミット還元を適用する。
• 作用汎関数 J(u) = ∫L(u, Lu, u′, Lu′)dx を用いる。ここで v は、有界線形作用素 L を用いて u から得られる。
• 系の対称性を活用し、アフィン空間 Ĥu = ŵ + H¹(R) 上での制約付き最小化を用いた変分的アプローチを採用する。
• 候補解の近傍において、並進に関して成り立つパライス＝スムース条件を適用し、解の収束を保証する。
• エネルギーの減衰を制御するためのリャプノフ汎関数 E を用い、臨界レベルが最小でない場合の矛盾を用いて不安定性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FitzHugh-Nagumo 方程式において、どのようなパrameter 条件の下で複数フロント定常波が存在するか？
• RQ2 平衡点がサドル・フォーカス型である場合、どのようにして安定および不安定なマルチバンプ解を構成できるか？
• RQ3 この系において、安定と不安定なマルチバンプ解を区別するための変分的および力学的メカニズムは何か？
• RQ4 ラグランジュの非局所的構造および不定な運動エネルギーが、解の存在および安定性にどのように影響するか？
• RQ5 特に (u⁺/2, v⁺/2) における中心対称性が、マルチバンプ解の構成に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の N ≥ 1 および十分に大きな整数 ni ≥ ∆σ に対して、(1.3)–(1.4) の解 (ûn, v̂n) が存在し、N 個のフロントを有する。各フロントは、基本的フロント (u∗, v∗) またはその逆 (u∗, v∗) の平行移動コピーの近傍に局在する。
• N が奇数のとき、解は (0, 0) にホモクラインである。N が偶数のとき、解は (0, 0) から (u⁺, v⁺) へのヘテロクラインである。これらはマルチバンプ定常波を形成する。
• フロントの位置 Xi は、|Xi − 2πni/ω − κ±| < σ を満たす。ここで κ⁺ および κ⁻ は系のパrameter に依存する定数である。
• 臨界点がマウンテン・パス型のとき、解は安定である。不安定性は、パライス＝スムース条件およびエネルギーの減衰を用いた矛盾による証明により示される。
• 条件 d > 1/γ² の下で、汎関数 J は下から有界である。これは、基本的フロント最小化子の存在に必須である。
• サドル・フォーカス型の平衡点でエネルギーが等しい状態を保証するパrameter 範囲は、γ = 9/(2β² − 5β + 2) および d ∈ ( (2 + βγ − 2√(1 + βγ))/γ² , (2 + βγ + 2√(1 + βγ))/γ² ) であり、β ∈ (0, 1/2) である。