[論文レビュー] Multiple Lattice Packings and Coverings of the Plane with Triangles

Kirati Sriamorn|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Analytic and geometric function theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平面上の任意の三角形 T に対する j 重格子詰めおよび格子被覆密度の正確な公式を確立している：δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1) および ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2。これらの密度は、特定のスケーリングされた段差多角形から導かれる格子を用いて達成され、2j+1 の素因数を含む乗法的算術関数を用いて、それらの最適格子の数を数え上げている。

ABSTRACT

Given a convex disk $K$ and a positive integer $j$, let $δ_L^j(K)$ and $\vartheta_L^j(K)$ denote the $j$-fold lattice packing density and the $j$-fold lattice covering density of $K$, respectively. I will prove that for every triangle $T$ we have that $δ_L^j(T)=\frac{2j^2}{2j+1}$ and $\vartheta_L^j(T)=\frac{2j+1}{2}$. Furthermore, I also obtain that the numbers of lattices which attain these densities both are $(2j+1)\prod_{p|2j+1}(1-\frac{2}{p})$, where the product is over the distinct prime numbers dividing $2j+1$.

研究の動機と目的

• 任意の R² 内の三角形 T に対する正確な j 重格子詰めおよび被覆密度を特定すること。
• これらの最適密度を達成する格子を特徴づけること。
• 最適詰めおよび被覆密度を達成する異なる格子の数を表す公式を導出すること。
• これらの密度が三角形の形状に依存せず、j のみに依存することを確立すること。
• 半開 r ステアープolygon およびそのスケーリングの構造を通じて、組合せ幾何学と問題を結びつけること。

提案手法

• 凸体 K に対して、格子 Λ の行列式 d(Λ) を用いた比率 |K|/d(Λ) を用いて、j 重格子詰めおよび被覆密度 δᴸʲ(K) と ϑᴸʲ(K) を定義する。
• j 重格子詰めおよび被覆の基本領域をモデル化するため、r ステアープolygon S(j) 及びそのスケーリング版 S(j)/(2j+1) と S(j)/(2j) を導入する。
• 最適詰め密度 δᴸʲ(T) が達成されるのは、関連する集合 Sⱼ(Λ) が S(j)/(2j) に等しいときであり、最適被覆密度 ϑᴸʲ(T) が達成されるのは Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1) に等しいときであることを証明する。
• Euler のトーティエント関数に類似した関数 φᵏ(n) の性質を用いて、最適密度を達成する異なる格子の数を数える。
• δᴸʲ(T) および ϑᴸʲ(T) が非特異なアフィン変換に対して不変であるという事実を活用し、頂点が (0,0)、(1,0)、(0,1) である標準三角形に問題を還元する。
• 定理 3.1 を適用し、基本領域の構造と正確な j 重格子タイリングの間の同等性を確立することで、最適密度と正確なタイリングの同等性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の任意の三角形 T に対して、j 重格子詰め密度 δᴸʲ(T) の正確な値は何か？
• RQ2 平面上の任意の三角形 T に対して、j 重格子被覆密度 ϑᴸʲ(T) の正確な値は何か？
• RQ3 どの格子が三角形 T に対して最適な j 重格子詰めおよび被覆密度を達成するか？
• RQ4 三角形 T に対して、最適な j 重格子詰めおよび被覆密度を達成する異なる格子はいくつあるか？
• RQ5 最適詰めおよび被覆配置は、スケーリングされた段差多角形のような幾何的対象を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の三角形 T に対する j 重格子詰め密度は、正確に δᴸʲ(T) = 2j²/(2j+1) に等しい。
• 任意の三角形 T に対する j 重格子被覆密度は、正確に ϑᴸʲ(T) = (2j+1)/2 に等しい。
• 最適詰め密度は、関連する基本領域 Sⱼ(Λ) が S(j)/(2j) に等しいとき、かつそのときに限り達成される。ここで S(j) は r = 2j である標準的な r ステアープolygon である。
• 最適被覆密度は、Sⱼ(Λ) = S(j)/(2j+1) に等しいとき、かつそのときに限り達成される。
• 最適詰めおよび被覆密度を達成する異なる格子の数は、(2j+1) × ∏_{p|2j+1} (1 - 2/p) に等しく、積は 2j+1 の異なる素因数を走査する。
• 最適配置は、スケーリングされた多角形 S(j)/(2j) または S(j)/(2j+1) が基本領域を形成する正確な j 重格子タイリングに対応する。