[論文レビュー] Multiple normalized solutions for quasi-linear Schrödinger equations

Louis Jeanjean, Tingjian Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非微分可能なエネルギー汎関数を克服するための摂動法を用いて、$N$次元における準線形シュレーディンガー方程式に対して、2つの異なる$L^2$-正規化解の存在を確立する。1つの解は制約下でのマウンテンパス臨界点であり、もう1つは局所的または大域的最小化子である。両解とも、$N \geq 3$ の場合$p \in (1, \frac{3N+2}{N-2})$、$N=1,2$ の場合$p \in (1,\infty)$の条件下で、所定の$L^2$-ノルム条件を満たす。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of two solutions having a prescribed $L^2$-norm for a quasi-linear Schrödinger equation. One of these solutions is a mountain pass solution relative to a constraint and the other one a minimum either local or global. To overcome the lack of differentiability of the associated functional, we rely on a perturbation method developed in [27].

研究の動機と目的

• 非線形項$u\Delta(|u|^2)$のため、エネルギー汎関数が微分不可能となる準線形シュレーディンガー方程式のクラスに対して、複数の$L^2$-正規化解の存在を確立すること。
• 文献[27]で開発された摂動法を用いて、汎関数$I_\lambda(u)$の非微分可能性の問題に対処し、制約多様体上での変分解析を可能にすること。
• 1つはマウンテンパス臨界点、もう1つは局所的または大域的最小化子としての2種類の異なる解の存在を証明すること。両者とも固定された$L^2$-ノルム制約の下で定義される。
• 特に、$N \geq 3$ の場合の臨界指数領域$p = \frac{3N+2}{N-2}$への拡張を行い、汎関数の挙動が著しく変化する点を分析すること。
• 量子力学およびプラズマ物理学の物理的モデルに関連する準線形シュレーディンガー方程式における正規化解のための厳密な変分的枠組みを提供すること。

提案手法

• 文献[27]の摂動アプローチを用いて、非微分可能な汎関数$V(u) = \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 |\nabla u|^2 dx$を正則化し、臨界点理論の適用を可能にする。
• $\mathcal{X}$を問題の自然な関数空間とするとき、$S(c) = \{u \in \mathcal{X} : \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx = c\}$を介して$L^2$-ノルム制約$\|u\|_{L^2}^2 = c$を課す。
• $J(u)$を$S(c)$上に制限したエネルギー汎関数として、制約付き最小化問題$m(c) = \inf_{u \in S(c)} J(u)$を分析し、1つの解を最小化子として得る。
• 制約多様体$S(c)$上でマウンテンパス定理を適用し、最小解でない臨界レベルに対応する2番目の臨界点を取得する。
• 径対称性の簡略化と、ニュートンポテンシャル$K(r) = C r^{-(N-2)}$との比較を用いて、解およびその微分の点ごとの減衰推定を導出する。
• Giaquintaの補題に基づく反復的減衰推定技術を用い、$\nabla u$の$L^2$-ノルムの成長を制御し、解の漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー汎関数が非微分可能である準線形シュレーディンガー方程式に対して、複数の$L^2$-正規化解が存在することを証明できるか？
• RQ2 $L^2$-正規化解の中にマウンテンパス型の解が存在するか？また、これは最小化子とはどのように異なるか？
• RQ3 特に臨界指数$\frac{3N+2}{N-2}$に近い領域において、複数の正規化解が存在するべき非線形項のべき乗$p$の正確な範囲は何か？
• RQ4 汎関数$V(u) = \int |u|^2 |\nabla u|^2 dx$の非微分可能性が、変分的構造および解の存在に与える影響は何か？
• RQ5 解の無限遠における漸近的減衰挙動は何か？また、これはニュートンポテンシャルとどのように関係するか？

主な発見

• $N \geq 3$ の場合$p \in (1, \frac{3N+2}{N-2})$、$N=1,2$ の場合$p \in (1,\infty)$の範囲で、2つの異なる$L^2$-正規化解が存在する。1つは$S(c)$上でのエネルギー汎関数$J(u)$の最小化子であり、もう1つはマウンテンパス臨界点である。
• 最小化子はラグランジュ乗数$\lambda < 0$に対応し、弱解としての定常方程式$-\Delta u - u\Delta(|u|^2) - \lambda u - |u|^{p-1}u = 0$を満たす。
• $p = 3 + \frac{4}{N}$のとき、$c > c_N$では$m(c) = -\infty$となる閾値が存在し、コンパクト性の喪失と、この臨界質量を超えた場合の最小化子の非存在を示唆する。
• $N \geq 3$ の場合$p \in (3 + \frac{4}{N}, \frac{3N+2}{N-2})$、$N=1,2$ の場合$p \in (3 + \frac{4}{N}, \infty)$では、下界$m(c)$が$-\infty$となるため、最小化子は存在しない。
• 解は点ごとの減衰推定を満たす：$|v_0(r)| \leq C_{\infty} K(r)$および$|v_0'(r)| \leq C_{\infty} K'(r)$、ここで$K(r) = C r^{-(N-2)}$はニュートンポテンシャルである。
• 解の漸近的挙動は、$|v_0'(r)| \sim C r^{-(N-1)}$および$v_0(r) \sim C r^{-(N-2)}$で特徴づけられ、$r^{N-3} b(r)$上の積分推定と$b(r) \leq C r^{-N}$を用いて、鋭い減衰率が導出される。