[論文レビュー] Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks

Amílcar Branquinho, Ana Foulquié‐Moreno+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2021

Mathematical functions and polynomials参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元のランダムウォークにおける複数の直交多項式と第一到達時刻、再帰的性質、および状態の定常的・零再帰的・正再帰的分類の関係を調査する。非可約マルコフ連鎖において整数値の増分を持つ場合、状態の再帰性は帰還確率の和の発散と同値であり、平均第一到達時刻が再帰の正再帰性または零再帰性を決定づけることが示された。

ABSTRACT

Given a non-negative Jacobi matrix describing higher order recurrence relations for multiple orthogonal polynomials of type~II and corresponding linear forms of type I, a general strategy for constructing a pair of stochastic matrices, dual to each other, is provided. The corresponding Markov chains (or 1D random walks) allow, in one transition, to reach for the N-th previous states, to remain in the state or reach for the immediately next state. The dual Markov chains allow, in one transition, to reach for the N-th next states, to remain in the state or reach for immediately previous state. The connection between both dual Markov chains is discussed at the light of the Poincaré's theorem on ratio asymptotics for homogeneous linear recurrence relations and the Christoffel-Darboux formula within the sequence of multiple orthogonal polynomials and linear forms of type I. The Karlin-McGregor representation formula is extended to both dual random walks, and applied to the discussion of the corresponding generating functions and first-passage distributions. Recurrent or transient character of the Markov chain is discussed. Steady state and some conjectures on its existence and the relation with mass points are also given. The Jacobi-Piñeiro multiple orthogonal polynomials are taken as a case study of the described results. For the first time in the literature, an explicit formula for the type~I Jacobi--Piñeiro polynomials is determined. The region of parameters where the Markov chains are recurrent or transient is given, and it is conjectured that when recurrent, the Markov chains are null recurrent and, consequently, the expected return times are infinity. Examples of recurrent and transient Jacobi--Piñeiro random walks are constructed explicitly.

研究の動機と目的

• 第一到達時刻分布を用いた1次元ランダムウォークの確率的構造の分析。
• 第一到達確率を用いた非可約マルコフ連鎖における状態の再帰性と非再帰性の特徴付け。
• 平均第一到達時刻の有限性に基づく状態の正再帰的または零再帰的分類の調査。
• 非可約連鎖において無限の期待帰還時間と零再帰性が同値であることを確立する。
• ランダムウォークの遷移行列のスペクトル的性質と直交多項式理論の接続を検討する。

提案手法

• 整数値の増分を持つ離散時間マルコフ連鎖として1次元ランダムウォークをモデル化する。
• 第一到達時刻確率 $ f_{ij}^n $ を、状態 $ i $ から出発して時間 $ n $ に初めて状態 $ j $ に到達する確率として定義する。
• 累積第一到達確率 $ F^n_{ij} = \sum_{m=1}^n f_{ij}^m $ を導入し、$ n \to \infty $ のとき $ F^\infty_{ij} $ に収束することを示す。
• $ F^\infty_{jj} = 1 $ を用いて再帰性を定義する：状態 $ j $ への最終的帰還確率が1である場合、状態 $ j $ は再帰的である。
• 再帰性を判定する基準 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ を適用し、状態訪問の再生過程と関連付ける。
• 平均第一到達時刻 $ \mathbb{E}[T_{jj}] $ が有限か無限かに応じて再帰性を正再帰または零再帰に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元ランダムウォークにおける状態が再帰的または非再帰的である条件は何か？
• RQ2 非可約マルコフ連鎖における和 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ の発散は再帰性とどのように関係するか？
• RQ3 第一到達時刻分布は再帰的性質を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 平均第一到達時刻は再帰の正再帰的または零再帰的分類とどのように関連するか？
• RQ5 このようなランダムウォークの遷移行列のスペクトル解析から、複数の直交多項式はどのように生じるか？

主な発見

• 状態 $ j $ は、$ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n = \infty $ である場合かつその場合に限り再帰的であり、これは $ j $ への帰還回数がほとんど確実に無限回であることを意味する。
• 状態 $ j $ は $ \mathbb{E}[T_{jj}] < \infty $ のとき正再帰的であり、$ \mathbb{E}[T_{jj}] = \infty $ のとき零再帰的であり、後者は無限の期待帰還時間を意味する。
• 非可約マルコフ連鎖では、すべての状態が同時に正再帰的、または同時に零再帰的、または同時に非再帰的である。
• 累積第一到達確率 $ F^n_{ij} $ は単調増加し、$ F^\infty_{ij} \leq 1 $ に収束する。これは状態 $ i $ から状態 $ j $ への最終的訪問確率を表す。
• 再帰的状態 $ j $ に対して、時間 $ t $ までの $ j $ への訪問回数を表す計数過程 $ N_{jj}(t) $ は、$ \lim_{t \to \infty} N_{jj}(t) = \infty $ almost surely を満たす。
• 再帰の分類は、系列 $ \sum_{n=1}^\infty P_{jj}^n $ の収束または発散によって完全に決定され、これは $ j $ への期待帰還回数の発散と同値である。