[論文レビュー] Multiple point spaces of finite holomorphic maps

J. J. Nuño‐Ballesteros, Guillermo Peñafort Sanchis|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限な正則写像 $f: X \to Y$ に対して、$k$重点空間 $D^k(f)$ の一意的で変形に依存しない定義を導入し、$k=2$ および階数 $1$ の特異点において、Mond の構成と一致することを証明する。主な結果として、次元および階数の条件のもとで、$D^2(f)$ が $(f \times f)^*\mathscr{I}_{\Delta(Y)} : \mathscr{I}_{\Delta(X)}$ の零点集合に一致することを示し、幾何的・代数的性質が良好に保たれることを保証する。

ABSTRACT

We show that there exists a unique possible definition, with certain natural properties, of the multiple point space of a holomorphic map between complex manifolds. Our construction coincides with the double point space and the k-th multiple point space for corank one map-germs, due to Mond. We also give some interesting properties of the double point space and prove that in many cases it can be computed as the zero locus of certain quotient of ideals.

研究の動機と目的

• 有限正則写像の変形における既存の多重点空間定義の不整合を解消すること。
• 安定な写像 $f$ に対して厳密な $k$ 重点を回復することができ、変形に対して安定である一意的で標準的な $D^k(f)$ の構成を確立すること。
• 双対点空間 $D^2(f)$ が特定のコロナイデアルの零点集合として計算可能となる条件を特徴づけること。
• $D^2(f)$ の幾何的性質（滑らかさ、Cohen-Macaulay性、被約性、正規性）を解析すること。
• 提案された $D^k(f)$ の構成が、$k=2$ および階数 $1$ の特異点において Mond の定義と一致することを証明すること。

提案手法

• $(x^{(1)}, \dots, x^{(k)}) \in X^k$ で $f(x^{(i)}) = f(x^{(j)})$ かつ $i \neq j$ ならば $x^{(i)} \neq x^{(j)}$ を満たす厳密な $k$ 重点の集合の閉包として $D^k(f)$ を定義する。
• Gaffney の枠組みを用いて、$f$ の展開（変形）に対してこの構成が良好に振る舞うことを保証する。
• 安定性および変形不変性を満たす唯一の構成であることを証明する。
• 次の場合に $D^2(f) = V\big((f \times f)^*\mathscr{I}_{\Delta(Y)} : \mathscr{I}_{\Delta(X)}\big)$ を示す：$\dim D^2(f) = 2n - p$ かつ階数 $\geq 2$ の部分集合の次元が $< 2n - p$ であるとき。
• 次元および特異点の条件のもとで、$\mathscr{I}^2(f)$ と $\mathscr{H}^2(f)$ の層論的差異を、アニュレーターと関連付いた素イデアルを用いて解析し、理想の等号を証明する。
• Mather-Gaffney の基準を適用して問題を安定な局所型に還元し、等周性を用いて理想の等号を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限正則写像に対して、変形に依存せず安定な $k$ 重点空間 $D^k(f)$ の一意的定義は存在するか？
• RQ2 双対点空間 $D^2(f)$ がコロナイデアル $(f \times f)^*\mathscr{I}_{\Delta(Y)} : \mathscr{I}_{\Delta(X)}$ の零点集合に一致する条件は何か？
• RQ3 滑らかさ、Cohen-Macaulay性、被約性、正規性といった $D^2(f)$ の幾何的性質は、$f$ の特異点とどのように関係するか？
• RQ4 提案された $D^k(f)$ の構成は、$k=2$ および階数 $1$ の特異点において Mond の定義と一致するか？
• RQ5 次元および特異点の制約のもとで、理想 $\mathscr{I}^2(f)$ が $\mathscr{H}^2(f)$ に等しいことを示せるか？

主な発見

• 提案された $D^k(f)$ は、$f$ が安定な場合に厳密な $k$ 重点の閉包として一意的であり、変形に対しても良好に振る舞う唯一の構成である。
• 次の場合に $D^2(f)$ は $V\big((f \times f)^*\mathscr{I}_{\Delta(Y)} : \mathscr{I}_{\Delta(X)}\big)$ に同型である：$\dim D^2(f) = 2n - p$ かつ階数 $\geq 2$ の部分集合の次元が $< 2n - p$ のとき。
• 次の場合に $\mathscr{I}^2(f) = \mathscr{H}^2(f)$ が成り立ち、$D^2(f)$ は被約かつ等周的である：$p = n$ のとき。
• 次の場合に $\mathscr{I}^2(f) = \mathscr{H}^2(f)$ が成り立ち、$D^2(f)$ は被約かつ等周的である：$p = n+1$ かつ $f$ が一般に一対一のとき。
• 次の場合に $\mathscr{I}^2(f) = \mathscr{H}^2(f)$ が成り立ち、$D^2(f)$ は被約かつ等周的で、次元 $2n - p$ である：$f$ が安定なとき。
• 次の場合に $\mathscr{I}^2(f) = \mathscr{H}^2(f)$ が成り立ち、両理想は被約であり、$D^2(f)$ は Cohen-Macaulayかつ等周的である：$f$ が有限に決定可能な局所型で $p < 2n$ のとき。