[論文レビュー] Multiple points of immersions

Konstantin Salikhov|ArXiv.org|Mar 13, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、次元条件 $(k+1)(n+1) \leq km$ の下で、正則ホモトピー型の包絡 $V^n \looparrowright M^m$ が $k$-包絡（つまり $k$ 重の交点をもたない包絡）を含むかどうかを決定するための、完全なブリュアーマン群における障害を構成する。障害は、そのような $k$-包絡が存在するための必要十分条件であり、$k=2$ の場合のHaefligerの結果を、ブリュアーマン理論的および等長的技法を用いて一般化する。

ABSTRACT

Given smooth manifolds $V^n$ and $M^m$, an integer $k$, and an immersion $f:V\looparrowright M$, we have constructed an obstruction for existence of regular homotopy of $f$ to an immersion $f':V\looparrowright M$ without $k$-fold points. This obstruction takes values in certain framed bordism group, and for $(k+1)(n+1)\leq km$ turns out to be complete.

研究の動機と目的

• 正則ホモトピー型の包絡 $V^n \looparrowright M^m$ が $k$-包絡（$k$ 重の交点をもたない包絡）を含むかどうかを特定すること。
• $k=2$ の場合のHaefligerの結果を、ブリュアーマン理論および等長的技法を用いてより高い $k$ へ一般化すること。
• 次元条件 $(k+1)(n+1) \leq km$ の下で、$k$-包絡の存在を検出するための、ブリュアーマン群における完全な障害を構成すること。
• 複数の包絡 $f_1, \dots, f_k$ が共通の $k$ 重交点を持つ場合に、正則ホモトピーによってその交点を消去できるかの基準を提供すること。

提案手法

• 一般的な包絡 $f: V^n \looparrowright M^m$ に対して、$k$ 重交点の多様体 $\overline{\pitchfork}(f^{(k)})$ を定義する。これは次元 $kn - (k-1)m$ の包絡された部分多様体である。
• 包絡 $f$ に対して、その正則ホモトピー型にのみ依存する、ある等長的ブリュアーマン群 $\Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ 内の要素 $b(f^{(k)})$ を関連付ける。
• 対称群 $\Sigma_k$ の $k$ 重被覆 $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ 上の作用を用いて、$\Sigma_k$-等長的ブリュアーマン類を定義する。
• $\widehat{\overline{\pitchfork}(f^{(k)})}$ と同一のブリュアーマン類を表す代表 $N$ 間の $\Sigma_k$-等長的ブリュアーマン $J: \widehat{W} \to \widehat{E_k}$ を構成する。
• 一般位置の議論を用いて、写像 $B: (\widehat{W} \times T)/\Sigma_k \to M$ を摂動し、$f(V)$ の自己交点から横断的かつ互いに交差しないようにする。
• $\Sigma_k$-不変な包絡 $H: \widehat{W}^+ \times T^+ \to M$ を構成し、ブリュアーマン類が消える場合に、$k$ 重交点を消去する正則ホモトピーを誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ホモトピー型の包絡 $V^n \looparrowright M^m$ が $k$-包絡を含むための次元的条件は何か？
• RQ2 包絡における $k$ 重交点を消去するための完全なブリュアーマン理論的障害は存在するか？
• RQ3 この手法は、$k$ つの異なる包絡 $f_1, \dots, f_k$ の共通の $k$ 重交点を消去するのにも拡張可能か？
• RQ4 特別な場合において、$k$ 重交点の符号または mod 2 の数え上げは、$k$-包絡の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 障害 $b(f^{(k)}) \in \Omega_{kn - (k-1)m}(E_k; \xi(f))$ は、$(k+1)(n+1) \leq km$ の下で、$k$-包絡の存在を検出するための完全なものである。
• もし $b(f^{(k)}) = 0$ であれば、$f$ は正則ホモトピーにより $k$-包絡に変形可能である。
• $V^{(k-1)r} \looparrowright M^{kr}$ で $r > k$ のとき、一般な包絡は、符号付き数え上げ $I(f) = 0$ であるための必要十分条件として正則ホモトピーにより $k$-包絡に変形可能である。
• $M = \mathbb{R}^{kr}$ で $r > k$ が奇数のとき、任意の包絡 $V^{(k-1)r} \looparrowright \mathbb{R}^{kr}$ は正則ホモトピーにより $k$-包絡に変形可能である。
• 包絡 $f_1, \dots, f_k$ に対して、それらが共通の $k$ 重交点を持たない正則ホモトピーに変形可能であるための必要十分条件は、それらの像が連続ホモトピーにより共通交点をもたないようにできる、ということである。
• $V_i$ が $p$-連結で $M$ が $(p+1)$-連結で $p \in \{4,5,12\}$ のとき、任意の $k$ 個の包絡は、共通交点を持たない正則ホモトピーに変形可能である。