[論文レビュー] Multiple polylogarithms and mixed Tate motives

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Mar 8, 2001

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用数 315

ひとこと要約

本稿は、解析的、ホッジ理論的、モチーフ的視点から多重多対数関数の理論を展開し、フレーム付き混合テートモチーフの周期としてのその役割を確立する。根の単位根におけるモチーフ的多重多対数関数のホップ代数を構成し、それがレベルNの巡回的ホップ代数として同定され、$ℝ_m - \mu_N$ 上のパスのモチーフ的トーラスと関連づけられ、数体上の混合テートモチーフにおける高次巡回的構造および予想的な構造の基盤が提供される。

ABSTRACT

We develop the theory of multiple polylogarithms from analytic, Hodge and motivic point of view. Define the category of mixed Tate motives over a ring of integers in a number field. Describe explicitly the multiple polylogarithm Hopf algebra.

研究の動機と目的

• 解析的、ホッジ理論的、モチーフ的枠組みにおいて、多重多対数関数の統一的理論を構築すること。
• 数体におけるS整数環上の混合テートモチーフのアーベル圏を構築すること。
• $\mathbb{G}_m - \mu_N$ 上のパスのモチーフ的トーラスをフレーム付き混合テートモチーフを用いて定義し、その研究を行うこと。
• モチーフ的ガロア群の構造および多重多対数関数がすべてのフレーム付き混合テートモチーフを生成するという普遍性に関する予想を提示し、裏付けを提供すること。
• 多重多対数関数、L関数の特殊値、およびモジュラー多様体$Y_1(m; N)$の幾何学との関係を確立すること。

提案手法

• 反復積分およびフレーム付き混合ホッジ・テート構造の形式的枠組みを用いて、多重多対数関数を周期として定義する。
• $\mathbb{Q}$上でのフレーム付きホッジ・テート構造の可換なグレーディング付きホップ代数$H^\bullet$を構成し、単位根に対して特別な部分代数$ZH^\bullet(\mu_N)$を定義する。
• タンナキアン形式的およびモチーフ的ホモトピー論の結果を用いて、S整数環上の混合テートモチーフの圏$MT(O_{F,S})$を定義する。
• 体上のある多様体上のパスのモチーフ的トーラス$PM(X; x, y)$を定義し、$X = \mathbb{A}^1 - \{z_1, \dots, z_m\}$のとき、それが$MT(F)$におけるプロオブジェクトであることを示す。
• モチーフ的リーダイニング・コールゲブラ$L(F)^\bullet$における深さフィルトレーションを用い、理想子$ I(F)^\bullet = \bigoplus_{n \geq 2} L(F)^{-n} $による予想的なフィルトレーションを定義する。
• このフィルトレーションの双対が、多重多対数関数によって誘導される深さフィルトレーションと一致すると提案し、Zagierの予想およびモチーフ的多重多対数関数の普遍性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重多対数関数は、$\mathbb{G}_m - \mu_N$ のモチーフ的基本群とどのように関係しているか？
• RQ2 根の単位根におけるモチーフ的多重多対数関数のホップ代数の構造は何か？ また、それが巡回的単位元やモジュラー形式とどのように関係しているか？
• RQ3 すべての体$F$上のフレーム付き混合テートモチーフは、モチーフ的多重多対数関数によって生成可能か？
• RQ4 モチーフ的リーダイニング・コールゲブラ$L(F)^\bullet$における深さフィルトレーションは、モチーフ的多重多対数関数によって誘導されるフィルトレーションと一致するか？
• RQ5 $\mathbb{G}_m - \mu_N$ 上のパスのモチーフ的トーラスの周期は、多重ゼータ関数および多重対数関数の特殊値とどのように関係しているか？

主な発見

• 多重多対数関数に付随するフレーム付きホッジ・テート構造は、ホップ部分代数$ZH^\bullet(\mu_N)$をなす。これをレベルNの巡回的ホップ代数と呼ぶ。
• 最初の成分$ZH^1(\mu_N)$は、$O^*(S_N) \otimes \mathbb{Q}$における巡回的単位元の群と同型であり、解析的実現は$Li_1(\zeta_N) = -\log(1 - \zeta_N)$である。
• モチーフ的トーラス$PM(\mathbb{G}_m - \mu_N; v_0, v_1)$は$MT(S_N)$におけるプロオブジェクトであり、その周期はすべて根の単位根における多重多対数関数で表現可能である。
• $ZH^\bullet(\mu_N)$ホップ代数はパストーラスのホッジ実現を記述し、その構造は予想的にモジュラー多様体$Y_1(m; N)$の幾何学と関連している。
• モチーフ的リーダイニング・コールゲブラ$L(F)^\bullet$における予想的な深さフィルトレーションは、多重多対数関数によって誘導されるフィルトレーションと一致し、モチーフ的多重多対数関数の普遍性を示唆する。
• 予想7.6はZagierの予想を含み、すべてのフレーム付き混合テートモチーフが多重多対数関数から生じることを支持する。