[論文レビュー] Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、サイクロトミック・リー代数とモジュラー複体を通じて、単位根における多重 polylogarithm と算術群のコホモロジーの間の深い関係を確立する。双対的リー代数を構成し、低深さ関係を法とする多重 zeta 値の空間が $GL_m(\mathbb{Z})$ のモジュラー複体のコホモロジーと同型であることを証明する。これにより、対称空間と反復積分を通じて、これらの代数的構造の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

This is a copy of the article published in Math Res. Letters 5, (1998) 497-516.

研究の動機と目的

• 単位根における多重 polylogarithm の代数的・算術的構造を理解すること。
• モジュラー複体を通じて、多重 zeta 値の空間を算術群のコホモロジーと関連付けること。
• 対称空間 $SL_m(\mathbb{R})/SO_m$ におけるモジュラー複体の幾何的実現を構成すること。
• 多重 zeta 値の代数とサイクロトミック・リー代数の双対との間の予想的同型を確立すること。
• リー代数的およびホモロジー的道具を用いた高次サイクロトミーの研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• $N$ 乗単位根における多重 polylogarithm の空間の商として得られる双対的リー代数的コールゲブラ $\mathcal{D}_{\bullet,\bullet}(\mu_N)$ を導入する。
• 反復積分表現と漸近展開を用いて、正則化写像 $\operatorname{Reg}Li_{n_1,\dots,n_m}(x_1,\dots,x_m)$ を定義する。
• 対称空間幾何を用いて、$GL_m(\mathbb{Z})$-加群の鎖複体として $GL_m(\mathbb{Z})$ のモジュラー複体を構成する。
• Borel–Brylinski–Borel-Serre 譜系を用いて、標準表現の対称冪を係数とする $GL_m(\mathbb{Z})$ のコホモロジーを計算する。
• 正則化写像を通じて、モジュラー複体のコホモロジーと空間 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ の間に同型を確立する。
• 反復積分形式におけるシャッフル関係および分配関係を用いて、正則化写像が多重 zeta 値の代数的構造を保つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位根における多重 polylogarithm の代数的構造は何か。また、算術群とどのように関係するか。
• RQ2 低深さ関係を法とする多重 zeta 値の空間は、$GL_m(\mathbb{Z})$ のコホモロジーを通じて幾何的に実現可能か。
• RQ3 サイクロトミック・リー代数の双対と多重 zeta 値の代数との間に、自然な同型が存在するか。
• RQ4 $GL_2$ および $GL_3$ のモジュラー複体と Voronoi 複体の関係は何か。これにより算術群のコホモロジーにどのような示唆が得られるか。
• RQ5 正則化写像は、発散する反復積分を $\overline{Z}_{w,m}(N)$ の明確な要素へどのように結びつけるか。

主な発見

• $GL_m(\mathbb{Z})$ のモジュラー複体のコホモロジーと同型である、低深さ関係を法とする多重 zeta 値の空間 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ が成立する。
• $N=1$ のとき、$w+m$ が奇数ならば $\dim_{\mathbb{Q}} \overline{Z}_{w,m}(1) = 0$ であり、これは $\mathcal{D}_{w,m}(1)$ がその次数で消えることによって示される。
• 複体 $\mathcal{D}_{\bullet,2} \to \Lambda^2 \mathcal{D}_{\bullet,1}$ のオイラー特徴標数の母関数は、$GL_2(\mathbb{Z})$ のコホモロジーを用いて $\frac{1}{(1-t^4)(1-t^6)} - 1$ として計算される。
• $GL_3(\mathbb{Z})$ に対して、$w > 3$ のとき $H^1(GL_3(\mathbb{Z}), S^{w-3}V_3)$ は消え、$H^3$ は $GL_2(\mathbb{Z})$ の尖点コホモロジーと同型である。
• 正則化写像 $\operatorname{Reg}Li_{n_1,\dots,n_m}(x_1,\dots,x_m)$ は、$\mathcal{D}_{w,m}(N)$ から $\overline{Z}_{w,m}(N)$ への全射線形写像であり、その係数は明示的な多重 polylogarithm の和で与えられる。
• モジュラー複体は対称空間 $SL_m(\mathbb{R})/SO_m$ において幾何的に実現され、境界はシャッフル関係を満たす一般の $3$-および $5$-セルに対応する。