[論文レビュー] Multiple recurrence and the structure of probability-preserving systems

Timothy Derek Austin|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非伝統的エルゴード平均のノルム収束を確立し、可換な測度保存変換に対する多重再帰定理を証明し、確率保存系の構造的枠組みを提供する。これはベルゲルソン＝ライブマン予想における多項式非伝統的平均の主要なケースを解決し、無限的ハイパーグラフ除去を用いて密度ヘイルズ＝ジーウェット定理を証明することで、satednessおよび結合構造を用いたエルゴード系の分類を進める。

ABSTRACT

In 1975 Szemerédi proved the long-standing conjecture of Erdős and Turán that any subset of $\bbZ$ having positive upper Banach density contains arbitrarily long arithmetic progressions. Szemerédi's proof was entirely combinatorial, but two years later Furstenberg gave a quite different proof of Szemerédi's Theorem by first showing its equivalence to an ergodic-theoretic assertion of multiple recurrence, and then bringing new machinery in ergodic theory to bear on proving that. His ergodic-theoretic approach subsequently yielded several other results in extremal combinatorics, as well as revealing a range of new phenomena according to which the structures of probability-preserving systems can be described and classified. In this work I survey some recent advances in understanding these ergodic-theoretic structures. It contains proofs of the norm convergence of the `nonconventional' ergodic averages that underly Furstenberg's approach to variants of Szemerédi's Theorem, and of two of the recurrence theorems of Furstenberg and Katznelson: the Multidimensional Multiple Recurrence Theorem, which implies a multidimensional generalization of Szemerédi's Theorem; and a density version of the Hales-Jewett Theorem of Ramsey Theory.

研究の動機と目的

• フュルステンベルクによるゼメレディ型定理へのアプローチにおいて生じる非伝統的エルゴード平均のノルム収束を確立すること。
• 多次元多重再帰定理およびその組合せ論的帰結、特にヘイルズ＝ジーウェット定理の密度版を証明すること。
• satedness、イデムポテンクラス、およびフュルステンベルク自己結合を用いて、確率保存系の構造理論を構築すること。
• 特にニルシステムと部分的に不変な部分群を含む高ランク系における結合の構造に関する一般予想に対する証拠を提供すること。
• 構造的エルゴード理論を用いて、多項式非伝統的平均に関するベルゲルソン＝ライブマン予想を解くための基盤を築くこと。

提案手法

• van der Corput推定およびフュルステンベルク自己結合技術を用いて、L^2における非伝統的平均の収束を分析する。
• 無限的ハイパーグラフ除去補題を適用して多次元設定における再帰を証明し、組合せ論的結果を導出する。
• satedシステムおよびイデムポテンクラスを用いて、結合測度の構造を制御し、収束を保証する。
• ホスト＝クラ理論の特徴的因子およびニルシステムを用いて、多重エルゴード平均の極限挙動を記述する。
• 因子写像を構成し、最大ニルシステム上の相対的独立性を用いて、可換変換の結合を分析する。
• 一般位置の仮定の下で、[HK05]、[Zie07]、および[CFH]の手法を部分的に不変な系の結合を分析するために適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な測度保存系に対して、非伝統的エルゴード平均がL^2で収束する条件は何か？
• RQ2 複数の可換変換に対するフュルステンベルク自己結合の構造は何か？ また、特徴的因子とどのように関係するか？
• RQ3 無限的ハイパーグラフ除去補題は、ヘイルズ＝ジーウェットのような組合せ論的定理の密度版を証明するためにどのように適用できるか？
• RQ4 satednessは、結合の構造を制御し、平均の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 部分的に不変な系の結合に関する一般予想は、特に線形独立な部分群を含む場合にどの程度証明可能か？

主な発見

• 任意の有限個の可換な測度保存変換の集合に対して、非伝統的平均のノルム収束が確立される。
• 多次元多重再帰定理が証明され、これはゼメレディの定理の多次元一般化を含意する。
• 対応原理および無限的ハイパーグラフ除去を用いて、ヘイルズ＝ジーウェット定理の密度版が導出される。
• 一般位置にある4つの可換変換のフュルステンベルク自己結合が、特定の因子（ニルシステムおよび変換の等価性を含む）上で相対的に独立であることが示される。
• 部分的に不変な系の結合に関する一般構造的予想に対する証拠が提供され、sated拡張およびべき零群構造を用いた特別な場合が証明される。
• 開発された手法は、特に低ランクの場合に、多項式非伝統的平均に関するベルゲルソン＝ライブマン予想の解決に向けた可能性を支持する。