[論文レビュー] Multiple scaling limits of $\mathrm{U}(N)^2 imes \mathrm{O}(D)$ multi-matrix models

Dario Benedetti, Sylvain Carrozza+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、U(N)² × O(D) 多行列模型における二重スケーリングおよび三重スケーリング極限を調査し、二重スケーリング極限におけるグレードがゼロとなるフェニマン図の再帰的分類を導入し、三重スケーリング極限における支配的グラフ構造を特定している。三重スケーリング極限において、一般の支配的グラフは装飾された平面二分木を形成し、分枝ポリマー普遍性クラスに属するが、2PI-支配的グラフはブラウン運動的球面（リウヴィル量子重力）普遍性クラスに属する。

ABSTRACT

We study the double- and triple-scaling limits of a complex multi-matrix model, with $\mathrm{U}(N)^2 imes \mathrm{O}(D)$ symmetry. The double-scaling limit amounts to taking simultaneously the large-$N$ (matrix size) and large-$D$ (number of matrices) limits while keeping the ratio $N/\sqrt{D}=M$ fixed. The triple-scaling limit consists in taking the large-$M$ limit while tuning the coupling constant $\lambda$ to its critical value $\lambda_c$ and keeping fixed the product $M(\lambda_c-\lambda)^\alpha$, for some value of $\alpha$ that depends on the particular combinatorial restrictions imposed on the model. Our first main result is the complete recursive characterization of the Feynman graphs of arbitrary genus which survive in the double-scaling limit. Next, we classify all the dominant graphs in the triple-scaling limit, which we find to have a plane binary tree structure with decorations. Their critical behavior belongs to the universality class of branched polymers. Lastly, we classify all the dominant graphs in the triple-scaling limit under the restriction to three-edge connected (or two-particle irreducible) graphs. Their critical behavior falls in the universality class of Liouville quantum gravity (or, in other words, the Brownian sphere).

研究の動機と目的

• 二重スケーリング極限 N/√D = M を固定したとき、グレードがゼロとなるフェニマン図の完全な集合を特徴づけること。
• 三重スケーリング極限における支配的グラフ構造を分類すること。このとき M → ∞ であり、結合定数は臨界性に調整されている。
• 一般および 2PI-制限付き支配的グラフの連続極限における普遍性クラスを特定すること。
• 三重スケーリング極限において、支配的スキームと平面二分木との間の一対一対応を確立すること。
• 2PI-支配的グラフのための有効な行列模型を構築し、その臨界的挙動を導出すること。

提案手法

• ラダーノードを備えたフェニマン図に対して、メロンフリー図、スキーム、および組合せ的移動を用いた再帰的組合せ的枠組みを構築する。
• グレードの概念を導入し、二重スケーリング極限で生き残る主要クラスとしてグレードがゼロの図を定義する。
• 再結合技術を用いて、グレードがゼロの支配的スキームと平面二分木との間の一対一対応を確立する。
• 2PI-支配的グラフを平面立方マップ上のイジング状態へ写像することで、有効な行列模型を導出する。
• 結合定数 λ → λc に調整することで三重スケーリング極限を適用し、M(λc − λ)^α が固定されるようにし、臨界的挙動を特定する。
• 挿入規則（例：ジップル、ラダー、接続）を用いたアルゴリズム的生成により、グレードがゼロの図を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重スケーリング極限 N/√D = M を固定したとき、どのフェニマン図のクラスが生き残るか？
• RQ2 三重スケーリング極限における支配的グラフの構造は何か？ また、どの普遍性クラスに属するか？
• RQ3 三重スケーリング極限における 2PI-支配的グラフは、一般の支配的グラフと構造的・臨界的挙動においてどのように異なるか？
• RQ4 三重スケーリング極限における支配的スキームを、既知の組合せ的対象へ一対一写像できるか？
• RQ5 2PI-支配的グラフを記述する有効な行列模型は何か？ また、リウヴィル量子重力とどのように関係するか？

主な発見

• 二重スケーリング極限におけるグレードがゼロのフェニマン図は、すべてメロンフリー図と組合せ的移動を用いた再帰的特徴づけが可能である。
• 三重スケーリング極限における支配的グラフは装飾された平面二分木の構造を持ち、分枝ポリマー普遍性クラスに属する。
• 三重スケーリング極限における 2PI-支配的グラフは、その臨界的挙動がリウヴィル量子重力（ブラウン運動的球面）普遍性クラスに属する部分クラスを形成する。
• グレードがゼロの支配的スキームと平面二分木との間の一対一対応が確立され、再結合が可能になる。
• 2PI-支配的グラフのための有効な行列模型が構築され、平面立方マップ上のイジング状態へ写像される。
• 三重スケーリング極限は、結合定数 λ → λc に調整することで定義され、M(λc − λ)^α が固定されるようにし、α はモデルの制約に依存する。