[論文レビュー] Multiple Schramm-Loewner evolutions for coset Wess-Zumino-Witten models

Yoshiki Fukusumi|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界条件変更オペレーター相関関数におけるマルティンググ条件を用いて、ドリフト項を導出することで、コセットWess-Zumino-Witten (WZW) モデルに対する複数のシュラム＝ロエーヴァー過程 (SLE) を定式化する。主な貢献は、$Z(n)$ パラフェルミオン模型における三重SLEの明示的ドリフト項の導出であり、Knizhnik-Zamolodchikov方程式を用いた透過確率の計算を含む。

ABSTRACT

We formulate multiple Schramm-Loewner evolutions (SLEs) for coset Wess-Zumino-Witten (WZW) models. The resultant SLEs may describe the critical behavior of multiple interfaces for the 2D statistical mechanics models whose critical properties are classified by coset WZW models. The SLEs are essentially characterized by multiple Brownian motions on a Lie group manifold as well as those on the real axis. The drift terms of the Brownian motions, which come from interactions of interfaces, are explicitly determined by imposing a martingale condition on correlation functions among boundary condition changing operators. As a concrete example, we formulate multiple SLE on the $Z(n)$ parafermion model and calculate the crossing probability which is closely related to 3-SLE drift terms.

研究の動機と目的

• コセットWZWモデルに適合する単一SLEを、内部自由度を有する複数SLEへと拡張すること。
• Lie群値ブラウン運動を組み込むことで、$G/A$ コセットWZWモデルにおける複数SLEの整合的枠組みを確立すること。
• 境界条件変更オペレーター相関関数におけるマルティンググ条件を用いて、複数SLEトレースの明示的ドリフト項を導出すること。
• 形式的体系を$Z(n)$ パラフェルミオン模型に適用し、Knizhnik-Zamolodchikov方程式を用いて透過確率を計算すること。
• 幾何的SLEを越えて、Lie群の対称性が複数SLEのダイナミクスに与える役割を明確にすること。

提案手法

• 複数SLEは、実軸およびLie群多様体上でのブラウン運動によって駆動され、位置$x_{\beta t}$および群要素$g_t(z)$の確率微分方程式が用いられる。
• 境界条件変更オペレーター相関関数におけるマルティンググ条件を課すことにより、ドリフト項$dF_{\beta t}$および$dG_{\beta t}^a$が導出される。
• 相互作用に起因するドリフトを符号化する分配関数$Z_t = \langle \psi_\Lambda(x_{1t}) \cdots \psi_\Lambda(x_{mt}) \psi_{\lambda_{m+1}}(\infty) \rangle$が定義される。
• OPE仮定とWardの恒等式を用いて一次元場の確率微分を計算し、相関関数に対するKZ方程式が導かれる。
• 明示的計算のため、$SU(2)_k$ モデルにおいてはWakimoto自由場表現とボソン化技術が用いられる。
• $Z(n)$ モデルでは、FZ点が臨界点を定義され、透過確率は超幾何関数を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部対称性自由度を有するコセットCFTに対して、複数SLEを一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 境界条件変更オペレーターを介した相互作用がある場合、コセットCFTにおける複数SLEトレースの明示的ドリフト項は何か？
• RQ3 Lie群値ブラウン運動は、標準的SLEと比較して、複数SLEのダイナミクスをどのように変化させるか？
• RQ4 $Z(n)$ パラフェルミオン模型における三重界面の透過確率は何か？ そしてそれはKZ方程式とどのように関係するか？
• RQ5 $SU(2)_2$ WZWモデルのSLEパラメータは、局所的ダイナミクスが異なるにもかかわらず、イジング模型のそれとどのように関係するか？

主な発見

• コセットWZWモデルにおける複数SLEのドリフト項は、$Z_t$ を境界条件変更オペレーターの分配関数として、$dF_{\alpha t} = \kappa dq_\alpha \partial_{x_{\alpha t}} \log Z_t + 2\sum_{\beta \neq \alpha} \frac{dq_\beta}{x_{\alpha t} - x_{\beta t}}$ および $dG_{\alpha t}^a = \frac{\tau}{Z_t} \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{t^{a}_{\lambda_\beta} Z_t}{x_{\beta t} - x_{\alpha t}} dq_\alpha$ として明示的に導出される。
• $Z(n)$ パラフェルミオン模型では、Knizhnik-Zamolodchikov方程式を用いて三重SLEのドリフト項が計算され、透過確率の計算が可能になる。
• $SU(2)_2$ WZWモデルの透過確率は、$Z_{C_2}(x) = x^{1/8}(1-x)^{1/8} F(5/4, 3/4; 3/2; x)$ で与えられ、SLEパラメータが異なっていてもイジング模型の透過確率と一致する。
• マルティンググ条件により、SLEプロセスと境界 conformal field theory の相関関数の整合性が保証され、構成の妥当性が裏付けられる。
• $SU(2)_2$ WZWモデルは、$\kappa = 16/5$, $\tau = 2/5$ であり、イジング模型の$\kappa = 16/3$, $\tau = 0$ とは異なるが、グローバルな透過挙動は同一である。これは、異なる局所的ダイナミクスの下でもグローバル観測量が同一である可能性を示している。
• 形式的体系は、Lie群の対称性が複数SLEのダイナミクスを顕著に変化させることを示しており、単一SLEはこのような対称性によって幾何的に変化しないことと対照的である。