[論文レビュー] Multiple solutions for a fractional $p$-Laplacian equation with sign-changing potential

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、符号が変化するポテンシャルを伴う分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対して、ファウンテン定理の変種を用いて非自明な弱解が無限に存在することを確立している。分数階 $p$-ラプラシアン、ポテンシャル $V(x)$、および $p$-超線形非線形項 $f(x,u)$ を含む関数族を分析することで、標準的な成長条件および対称性条件の下で多重性の結果を証明し、従来の局所的 $p$-ラプラシアンおよび分数階シュレーディンガー方程式の結果を、非局所的・非線形作用素に拡張している。

ABSTRACT

We use a variant of the fountain Theorem to prove the existence of infinitely many weak solutions for the following fractional p-Laplace equation (-Δ)^{s}_{p}u+V(x)|u|^{p-2}u=f(x,u) in R^N, where $s \in (0,1)$,$ p \geq 2$,$ N \geq 2$, $(-Δ)^{s}_{p}$ is the fractional $p$-Laplace operator, the nonlinearity f is $p$-superlinear at infinity and the potential V(x) is allowed to be sign-changing.

研究の動機と目的

• 符号が変化するポテンシャル $V(x)$ を伴う分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対して、無限に多くの非自明な弱解の存在を確立すること。
• 局所的 $p$-ラプラシアンおよび分数階シュレーディンガー方程式における多重性の結果を、不定ポテンシャルを有する非局所的・準線形設定に拡張すること。
• 非線形項 $f(x,u)$ における $p$-超線形成長および対称性条件（奇関数性およびAmbrosetti-Rabinowitz型条件を含む）の下で問題を分析すること。
• 関連エネルギー汎関数の臨界点枠組みにおいて、ファウンテン定理の変種が適用可能であることを検証すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda}(u) = A(u) - \lambda B(u)$ の臨界点問題として問題を定式化し、ここで $A(u)$ はギャリャルド半ノルムとポテンシャル項を含み、$B(u)$ は原始関数 $F(x,u)$ の積分である。
• Banach空間 $E$ を、$C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ の完備化として定義し、ノルムは $||u||_E^p = \iint_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} \,dx\,dy + \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u(x)|^p \,dx$ で与えられる。
• Zouによるファウンテン定理の変種を適用し、対称性、有界性、部分空間 $Y_k$ と $Z_k$ 間の特定のリンク構造を要求する。
• 汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda}$ がファウンテン定理の条件を満たすことを確認する：対称性、有界集合上での一様有界性、およびすべての $\lambda \in [1,2]$ に対して $r_k > \rho_k$ が存在し、$\beta_k(\lambda) < \alpha_k(\lambda)$ が成り立つこと。
• 集中・コンパクトネスの議論と弱収束を用いて、Cerami列が有界であることを証明し、ドミネート収束定理およびファトウの補題に依存する。
• 背理法を用いて、部分列の強い収束を確立し、有界でない列が発散するエネルギー値を生じさせることで、臨界値の有界性に矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号が変化するポテンシャルを伴う分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対して、ファウンテン定理をどのように変種化して解の多重性を証明できるか？
• RQ2 非線形項 $f(x,u)$ およびポテンシャル $V(x)$ にどのような条件下で、方程式 $(-\Delta)_p^s u + V(x)|u|^{p-2}u = f(x,u)$ が無限に多くの非自明な弱解を有するか？
• RQ3 非線形項 $f(x,u)$ が $p$-超線形的かつ奇関数的であると同時に、符号が変化するポテンシャル $V(x)$ を有する場合、非局所的設定においても無限に多くの臨界点が存在するか？
• RQ4 ポテンシャル $V(x)$ が正定値でない場合に、問題に関連するエネルギー汎関数がファウンテン定理に必要な幾何的およびコンパクトネス条件を満たすか？

主な発見

• ポテンシャル $V(x)$ に対して (V1)–(V2) の仮定と、非線形項 $f(x,u)$ に対して (f1)–(f4) の仮定が成り立つ限り、問題は無限に多くの非自明な弱解を有する。
• パラメータ $\lambda \in [1,2]$ の下で、汎関数 $\mathcal{J}_{\lambda}(u)$ にファウンテン定理の変種を適用することで、無限に多くの解の存在が確立される。
• 臨界値 $\mathcal{J}(u^k)$ は $c_k \leq \mathcal{J}(u^k) \leq d_k$ を満たし、$k \to \infty$ のとき $c_k \to \infty$ となるため、無限に多くの異なる解が保証される。
• 臨界点の列 $\{u_n^k\}$ は空間 $E$ 内で有界であり、部分列は非自明な $\mathcal{J}_1 = \mathcal{J}$ の臨界点に強く収束する。
• 証明は、弱収束および几乎 everywhere (a.e.) 収束を組み合わせた背理法に依存し、$F(x,u)$ の成長を制御するためにドミネート収束定理およびファトウの補題が用いられる。
• 非線形項の対称性 $f(x,-t) = -f(x,t)$ および $F(x,t)$ の非負性は、汎関数が偶関数であり、リンク構造が成立することを保証するために不可欠である。