[論文レビュー] Multiple solutions to logarithmic Schrodinger equations with periodic potential

Marco Squassina, Andrzej Szulkin|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、周期的ポテンシャルを伴う対数的シュレーディンガー方程式の複数解の解析における技術的欠陥を是正し、特に臨界点理論とパラ・スメイ・条件の適用に関して修正を行う。Lemma 2.4 を再検討し、Lemma 2.7 を、修正されたノルム類似汎関数 $\mu_d(u)$ を用いた局所リプシッツ連続なベクトル場に基づく、より単純な構成に置き換える。これにより勾配の収束が保証され、対称性とコンパクトなsupporthが維持される。修正された枠組みにより、周期的ポテンシャル条件下での複数解の存在が正当化される。

ABSTRACT

We study a class of logarithmic Schrodinger equations with periodic potential which come from physically relevant situations and obtain the existence of infinitely many geometrically distinct solutions.

研究の動機と目的

• 対数的シュレーディンガー方程式の文脈において、部分微分とフレシェ微分の双対性に関する Lemma 2.4 の証明における技術的誤りを是正すること。
• 欠陥のある Lemma 2.7 を、対称性とコンパクトなsupporthを保ちながら、パラ・スメイ・シーケンスにおける勾配収束を保証する、より単純な局所リプシッツ連続ベクトル場 $H$ の新たな構成に置き換えること。
• Theorems 1.1 と 1.2 の臨界点枠組みの有効性を回復するために、$\mathcal{H}$ の族を、コンパクトなsupporthを持つ写像のみを含むように再定義し、関連する集合上で汎関数 $J$ の連続性を保証すること。
• 修正された $\mu_d$ 汎関数を用いて、強固なフローと勾配収束を確立することで、周期的ポテンシャル条件下での複数解の存在を保証すること。

提案手法

• 元の Lemma 2.4 を、$w \in \partial J(u)$ がかつそしてただそのときに $w = J'(u)$ であることを示す修正された議論に置き換える。テスト関数 $z \in C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ を用い、$t \to 0$ における極限をとる。
• 臨界点への距離を測るための新たな汎関数 $\mu_d(u) := \inf_{a \in J^d} \{ \|J'(a)\| + \|u - a\| \}$ を導入する。これは $u \in J^d$ に対してリプシッツ連続かつ有限である。
• 局所的に有限な開被覆に従属する分区画の単位を用いて、$H(u) = \frac{1}{2}(H_1(u) - H_1(-u))$ としてベクトル場 $H$ を構成する。これにより奇性、有界性、コンパクトなsupporthが保証される。
• $\|H(u)\| \leq 1$ および $\langle J'(u), H(u) \rangle > \frac{1}{2}\mu_d(u)$ を確立し、フローに沿った勾配の減少を保証する。
• 元のフロー定義を $D(J) \setminus K$ ではなく $J^d \setminus K$ に置き換えることで、新しいベクトル場およびコンパクトなsupporthと整合性を保つ。
• $\mathcal{H}$ の族を、コンパクトなsupporthを保つ奇関数のホメオモーフィズムのみを含むように再定義し、$J$ が像集合上で連続であり、$T > 0$ が存在して $J(\widetilde{\eta}(T,u)) < d - \varepsilon$ となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の Lemma 2.4 は $J$ の部分微分を $J'$ で正しく特徴づけているか？ もし誤りであれば、どのような修正が必要か？
• RQ2 より単純でより頑健なベクトル場を構成し、Lemma 2.7 の欠陥を補い、変形補題に必要な性質（対称性、コンパクトなsupporth、勾配収束）を保つことは可能か？
• RQ3 $J$ が大域的に連続でない場合、Theorems 1.1 と 1.2 のフローに基づく証明で $J$ の連続性をどのように回復できるか？
• RQ4 集合 $A$ がコンパクトなsupporthを持つ場合、$J$ が $h(A)$ の上での連続性を保つために、$\mathcal{H}$ の族にどのような修正が必要か？
• RQ5 修正された枠組みを用いて、周期的ポテンシャルを伴う対数的シュレーディンガー方程式の複数解の存在を再確立できるか？

主な発見

• 修正済みの Lemma 2.4 により、$w \in \partial J(u)$ がかつそしてただそのときに $w = J'(u)$ であることが示され、証明は $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ 内のテスト関数と $t \to 0$ における極限に依存する。
• Lemma 2.7 の新しいベクトル場 $H$ は $\|H(u)\| \leq 1$、$\langle J'(u), H(u) \rangle > \frac{1}{2}\mu_d(u)$ を満たし、局所的にコンパクトなsupporthを持つ。これによりフローが適切に振る舞うことが保証される。
• $\mu_d(u)$ はリプシッツ連続で、リプシッツ定数は 1 である。また、$\mu_d(u_n) \to 0$ ならば、$\|u_n - a_n\| \to 0$ を満たす列 $a_n$ に対して $J'(u_n) \to 0$ となる。
• フロー $\widetilde{\eta}$ は now $J^{d+2\varepsilon_0} \setminus K$ 上で定義され、修正されたベクトル場により、任意のコンパクト集合 $B$ 内のすべての $u$ に対して、ある $T > 0$ が存在して $J(\widetilde{\eta}(T,u)) < d - \varepsilon$ となる。
• 再定義された族 $\mathcal{H}$ により、$A$ がコンパクトなsupporthを持つ場合に $J$ が $h(A)$ 上で連続であることが保証され、Theorem 1.1 の証明における $T > 0$ の存在が可能になる。
• 修正された枠組みにより、Theorems 1.1 と 1.2 の有効性が回復され、周期的ポテンシャル条件下での対数的シュレーディンガー方程式の複数解の存在が確認される。