[論文レビュー] Multiple Testing in Nonparametric Hidden Markov Models: An Empirical Bayes Approach

Kweku Abraham, Ismaël Castillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 36被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非パラメトリックな隠れマルコフモデル（HMM）における多重仮説検定のための経験的ベイズ手順を提案する。後方確率（ℓ値）のデータ駆動型しきい値処理を用いて、誤り発見率（FDR）を制御するとともに、真の発見率（TDR）を最大化する。この手法は、最小最大最適レートに収束する上限ノルム推定器を用いることで、FDRのターゲット水準を達成し、最適なTDRを実現する理論的保証を確立する。

ABSTRACT

Given a nonparametric Hidden Markov Model (HMM) with two states, the question of constructing efficient multiple testing procedures is considered, treating one of the states as an unknown null hypothesis. A procedure is introduced, based on nonparametric empirical Bayes ideas, that controls the False Discovery Rate (FDR) at a user--specified level. Guarantees on power are also provided, in the form of a control of the true positive rate. One of the key steps in the construction requires supremum--norm convergence of preliminary estimators of the emission densities of the HMM. We provide the existence of such estimators, with convergence at the optimal minimax rate, for the case of a HMM with $J\ge 2$ states, which is of independent interest.

研究の動機と目的

• モデルのパrameterが既知でない場合に、ユーザー指定の水準で誤り発見率（FDR）を制御する非パラメトリックHMMにおける経験的ベイズ多重仮説検定手順の開発。
• FDR制御下で高い統計的パワーを達成するため、真の発見率（TDR）を最大化することの保証。
• モデルパrameterが推定されている場合のFDRおよびTDR制御に関する理論的保証の確立。
• 多重仮説検定フレームワークとは独立して、非パラメトリックHMMにおける発生密度の上限ノルム推定器を構築し、最適収束レートを達成すること。
• パラメトリックモデルの仮定がFDRおよびTDRのパフォーマンスを著しく劣化させる可能性があることから、非パラメトリック推定の必要性を正当化すること。

提案手法

• 多重仮説検定のための検定統計量として、各状態が帰無仮説（θi = 0）である後方確率（ℓ値）を用いる。
• データに依存するしきい値を、条件付き期待FDRがターゲット水準tにほぼ等しくなるように選択する。これはMüllerら（2004年）およびSun & Cai（2009年）の手法に従う。
• モーメント行列M^x、P、O、Vの経験的バージョンを用いたモーメントベースのアプローチにより、発生密度の上限ノルム推定器を構築する。正則化には固有値分解と条件数制御を用いる。
• 密度基底の線形独立性を保証し、モーメント行列の安定的逆行列化を可能にするための「ウォッチマン関数」（h1,…,hL₀）の集合に依存する。
• カーネルベースのスムージング（KL）と行列逆行列技術を用いて推定器を構築し、作用素ノルムにおける推定誤差の理論的バウンドを導出する。
• 上限ノルムにおける発生密度推定器の収束から、ℓ値しきい値処理への推定誤差伝播を介して、FDRおよびTDRの理論的制御を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルパrameterが推定されている非パラメトリックHMM設定において、経験的ベイズ多重仮説検定手順は、漸近的に誤り発見率（FDR）を制御できるか？
• RQ2 提案手法は、FDR制御下でも最適なパワー（真の発見率TDR）を維持するか？
• RQ3 非パラメトリックHMM（J ≥ 2状態）における発生密度の上限ノルム推定の最適収束レートは何か？
• RQ4 推定ノルムの選択（上限ノルム対L²ノルム）が、経験的ベイズ多重仮説検定手順のパフォーマンスに与える影響は？
• RQ5 パラメトリックHMMにおけるモデルの不適合が、FDRおよびTDR制御をどの程度劣化させるか。非パラメトリック推定はこれを緩和できるか？

主な発見

• 提案手法は、弱い正則性条件の下で、ユーザー指定水準tのFDRを制御し、漸近的にFDRがtに収束することを示した。
• FDR制御下で最適な真の発見率（TDR）を達成しており、この手順が多重仮説検定の意味で漸近的に最適であることを示した。
• 非パラメトリックHMMにおける発生密度の上限ノルム推定器は、離散観測ではパラメトリックレートN⁻¹/²、 Hölder滑らかさの正則性sを持つ密度では最小最大レート(N/log N)⁻ˢ/(²ˢ⁺¹)を達成する。
• 非パラメトリックHMMにおける上限ノルム推定の最小最大レートが最適であることが確立され、古典的i.i.d.密度推定における既知の下界と一致する。
• 理論的枠組みにより、上限ノルムにおける推定誤差がℓ値誤差への伝播を経て、FDRおよびTDRの保証に寄与することが示された。
• 古典的手法（Benjamini-Hochbergなど）が帰無分布を既知としているのとは異なり、未知の帰無分布に対してもロバストである。また、モデル不適合下ではパラメトリック代替手法を上回る性能を示した。