[論文レビュー] Multiple timescales and the parametrisation method in geometric singular perturbation theory

Ian Lizarraga, Bob Rink+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Combustion and flame dynamics参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、幾何的特異摂動理論における座標に依存しないパrametrization手法を導入し、反復的に共役方程式を解くことで、任意の精度でスローマニフォールドおよびその高速ファイバー束を計算する。この手法は、3つ以上のタイムスケールを有する系において隠れたタイムスケールを明らかにし、反応ネットワークモデルへの応用に成功し、事前にタイムスケールの数や吸引子構造を知る必要がないトップダウン的手法を提供する。

ABSTRACT

We present a novel method for computing slow manifolds and their fast fibre bundles in geometric singular perturbation problems. This coordinate-independent method is inspired by the parametrisation method introduced by Cabr\'e, Fontich and de la Llave. By iteratively solving a so-called conjugacy equation, our method simultaneously computes parametrisations of slow manifolds and fast fibre bundles, as well as the dynamics on these objects, to arbitrarily high degrees of accuracy. We show the power of this top-down method for the study of systems with multiple (i.e., three or more) timescales. In particular, we highlight the emergence of hidden timescales and show how our method can uncover these surprising multiple timescale structures. We also apply our parametrisation method to several reaction network problems.

研究の動機と目的

• 複数タイムスケールを有する幾何的特異摂動問題において、座標に依存しないスローマニフォールドおよび高速ファイバー束を計算するための手法を開発すること。
• Cabré, Fontich, および de la Llave のパrametrization手法を、3つ以上のタイムスケールを有する特異摂動問題に拡張すること。
• 標準的な系の形 (1.1) からは明らかでない隠れたタイムスケールを、特に小パラメータが依存関係を示す系において、どのようにして系統的に特定できるかを明らかにすること。
• 事前にタイムスケールの数や吸引子状態を知る必要がない、ネストされた不変多様体およびその動的構造を近似するための体系的でアルゴリズム的なアプローチを提供すること。
• 反応ネットワーク問題への応用を実施し、特に正規双曲性の喪失を伴う系において、スローおよびインフラスロー多様体を同定する際の有効性を示すこと。

提案手法

• スローマニフォールドおよび高速ファイバー束の同定を、座標チャートにおけるモデル系への動的関係を示す共役方程式の解法に再定式化する。
• 反復的スキームを用いて共役方程式を解き、小パラメータ ε に関して任意の次数までスローマニフォールドおよび高速ファイバー束のパラメータ表示を計算する。
• 各反復ステップでホモロジー方程式を解析的に解くアプローチを採用し、スローフローの近似的定常性に起因する、解の明示的公式の利用を可能にする。
• トップダウン形式で動作する：まず主なスローマニフォールド Sε₀ を計算した後、系としてネストされたインフラスロー多様体 Sε₁, Sε₂, ... およびそれに対応する高速ファイバーを系統的に明らかにする。
• 2次補正のスローマニフォールドおよび1次補正の高速ファイバーに対しては、記号計算（例：Mathematica）を用い、高次項の計算効率化のため自動微分を推奨する。
• 臨界多様体が通常双曲的であり、滑らかな写像 φ₀ を介して埋め込める場合に、この手法が適用可能であり、還元された力学の局所的座標表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つ以上のタイムスケールを有する複数タイムスケール系において、スローマニフォールドおよびその高速ファイバー束を任意の精度でどのように計算できるか。
• RQ2 特異摂動系において隠れたタイムスケールがどのようにして出現するか、そしてそれがどのように系統的に特定可能か。
• RQ3 標準的な複数タイムスケールフレームワークが失敗する依存小パラメータを有する系に対し、このパラメータ化手法をどのように拡張できるか。
• RQ4 反応ネットワークモデルにおいて、この手法はスローおよびインフラスロー多様体を同定する際にどのように機能するか。
• RQ5 共役方程式が、幾何的特異摂動理論における不変多様体の座標に依存しない計算を可能にする役割は何か。

主な発見

• パラメータ化手法により、スローマニフォールドおよび高速ファイバー束が ε に関して任意の次数まで計算可能であり、スローマニフォールドの2次補正およびファイバーの1次補正が記号的に計算された。
• 本手法により、埋め込まれたヴァン・デル・ポール系 (5.1) のような系において、隠れたタイムスケールが明らかにされた。ここでは、スローマニフォールド Sε₀ 上にリラクゼーション振動が出現し、スローおよびインフラスロー動的構造が接続される。
• 反応ネットワーク例 (4.10) において、同定された安定ノードに第3のタイムスケールが存在しないことが示され、還元問題において均衡点の曲線が存在しないことは、隠れたタイムスケールの存在を否定する。
• 依存小パラメータを有する系では、Cardin & Teixeira (2019) の枠組みを超える複雑な複数タイムスケール構造を示す可能性があり、より一般的な幾何的定義の必要性が明らかになった。
• リラクゼーション振動が発生する正規双曲性の喪失が生じる場合でも、本手法はスローおよびインフラスロー多様体およびその動的構造を、折りたたみ点から離れた領域においても依然として近似可能である。
• Gi および Hi の高次項計算において、計算負荷を克服するため、自動微分を用いるべきであると著者らが提言している。