[論文レビュー] Multiple zeta functions of Kaneko-Tsumura type and their values at positive integers

Shûji Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、カネコ・ツムラの多重ゼータ関数を2r個の複素変数の正則関数に拡張し、その解析接続を証明するとともに、正の整数における特殊値とオイラー＝ザジエールの多重ゼータ値との間の線形関係を確立する。主な結果として、任意の複素数k, lに対してη(k;l) = η(l;k)の双対性恒等式が証明され、η(1,…,1;1,…,1) = ζ(2,…,2)のような明示的評価も得られる。

ABSTRACT

Kaneko and Tsumura introduced a new kind of multiple zeta functions $η(k_1,\ldots,k_r;s_1,\ldots,s_r)$. This is an analytic function of complex variables $s_1,\ldots,s_r$, while $k_1,\ldots,k_r$ are non-positive integer parameters. In this paper, we first extend this function to an analytic function $η(s'_1,\ldots,s'_r;s_1,\ldots,s_r)$ of $2r$ complex variables. Then we investigate its special values at positive integers. In particular, we prove some linear relations among these $η$-values and the multiple zeta values $ζ(k_1,\ldots,k_r)$ of Euler-Zagier type.

研究の動機と目的

• カネコ・ツムラの多重ゼータ関数を、元来非正の整数パラメータに限られた定義を一般化し、2r個の複素変数の正則関数に拡張すること。
• 経路積分法を用いて、拡張された関数を全複素空間C^{2r}に解析接続することの証明。
• 正の整数における拡張関数の特殊値を調査し、オイラー＝ザジエールの多重ゼータ値との線形関係を導出すること。
• 従来非正の整数に対してのみ観察されていた、任意の複素数k, lに対してη(k;l) = η(l;k)の双対性恒等式を厳密に証明すること。
• 正の整数における特定のη値を、多重ゼータ値の有限和として表現することを含め、η(1,…,1;1,…,1) = ζ(2,…,2)のような明示的評価を提供すること。

提案手法

• r変数の多重ポリログラスを含む多重積分表現を用いて、η(s′₁,…,s′ᵣ;s₁,…,sᵣ)を定義する。
• ε-カーブC_εを用いた古典的経路積分法を適用し、多重ポリログラスを複素パラメータへ解析接続する。
• 式(2.1)の積分表現を用いて、多重ポリログラスをガンマ関数と経路積分の積として表現し、C^{2r}への解析接続を可能にする。
• 対称性の確立：η(s′₁,…,s′ᵣ;s₁,…,sᵣ) = η(s₁,…,sᵣ;s′₁,…,s′ᵣ)。これは元の関数の双対性を一般化する。
• 対数積分や多重ゼータ値の恒等式を含む積分変換と級数展開を用いて、正の整数における特殊値の公式を導出する。
• インデックス集合の組み合わせ的恒等式と包含除法を用い、整数の鎖への和を多重ゼータ値に関連付ける。これは、補題A.2および定理A.1で形式化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カネコ・ツムラの多重ゼータ関数をどのように2r個の複素変数の正則関数に拡張できるか？
• RQ2 拡張された関数の正の整数における特殊値は何か？ そしてそれらはオイラー＝ザジエールの多重ゼータ値とどのように関係するか？
• RQ3 双対性恒等式η(k;l) = η(l;k)は、非正の整数に限らず、任意の複素数k, lに対しても厳密に証明可能か？
• RQ4 正の整数におけるη値の明示的評価は、どのようにして多重ゼータ値の有限和として表現できるか？
• RQ5 インデックス集合や整数の鎖の組み合わせ的構造は、η値と多重ゼータ値の間の線形関係にどのように寄与するか？

主な発見

• カネコ・ツムラの多重ゼータ関数は、2r個の複素変数の正則関数η(s′₁,…,s′ᵣ;s₁,…,sᵣ)に拡張され、C^{2r}全域にわたる完全な解析接続がなされた。
• 拡張された関数は、η(s′₁,…,s′ᵣ;s₁,…,sᵣ) = η(s₁,…,sᵣ;s′₁,…,s′ᵣ)という対称性を満たし、元の関数に観察された双対性を一般化する。
• 任意の複素数k, lに対してη(k;l) = η(l;k)の双対性恒等式が、非正の整数に限らず、厳密に証明された。
• 特殊値η(1,…,1;1,…,1)は、多重ゼータ値ζ(2,…,2)に等しく、正の整数における拡張関数の明示的評価を提供する。
• 正の整数k, lに対して、η(k;l)は、指定された不等式を満たす整数の鎖への有限和として表現され、これは多重ゼータ値の有限和に再定式化可能である。
• 本稿では、η値と多重ゼータ値の間の一般線形関係を、恒等式η(k;l) = ∑_{J⊂J(k)} S_Jにより確立した。ここでS_Jは、指定された関係演算子を持つ鎖への和を表す。