[論文レビュー] Multiplication on uniform $λ$-Cantor sets

Jiangwen Gu, Kan Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中間三分の1カントール集合 $C$ における積集合 $C \cdot C$ の完全な位相的および測度論的記述を提供し、均一な $\lambda$-カントール集合へと一般化する。自己相似構造と区間反復を用いて、$K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ を証明し、ここで $K_R$ は残渣的集合である。また、$\lambda$ の関数としての積集合のLebesgue測度の連続性を確立する。中間三分の1カントール集合の場合、$C \cdot C$ の測度は数値的に約 0.80955 に推定される。

ABSTRACT

Let $C$ be the middle-third Cantor set. Define $C*C=\{x*y:x,y\in C\}$, where $*=+,-,\cdot,÷$ (when $*=÷$, we assume $y eq0$). Steinhaus \cite{HS} proved in 1917 that \[ C-C=[-1,1], C+C=[0,2]. \] In 2019, Athreya, Reznick and Tyson \cite{Tyson} proved that \[ C÷C=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}\left[ 3^{-n}\dfrac{2}{3},3^{-n}\dfrac {3}{2} ight] . \] In this paper, we give a description of the topological structure and Lebesgue measure of $C\cdot C$. We indeed obtain corresponding results on the uniform $λ$-Cantor sets.

研究の動機と目的

• 中間三分の1カントール集合というフラクタル幾何学における基本的対象である $C \cdot C$ の位相的および測度論的構造を記述すること。
• パrameter $\lambda \in [1/(m+1), 1/m)$ を持つ反復関数系によって定義される均一な $\lambda$-カントール集合へ分析を一般化すること。
• $K_\lambda \cdot K_\lambda$ のLebesgue測度が $\lambda$ の関数として連続であることを確立すること。
• 先行研究が測度的にのみ上限を示していた、$C \cdot C$ の正確な構造という未解決問題を解消すること。

提案手法

• パrameter $\lambda$ を持つ反復関数系 $\{f_i(x) = \lambda x + i\delta\}_{i=0}^{m-1}$ を用いて、$K_\lambda$ を均一な $\lambda$-カントール集合として定義する。ここで $\delta = \lambda + g$、$g = (1 - m\lambda)/(m-1)$ である。
• $1$ 以上の最初の桁を持つ基本区間の集合 $\mathcal{A}$ を導入し、$I \in \mathcal{A}$ に対して $\widehat{I} = \bigcup_{p<q} (I^{(p)} \cdot I^{(q)})$ を定義する。これにより、部分区間間のクロス積を捉える。
• $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ を証明する。ここで $K_R = \bigcup_{i=1}^{m-1} f_i(K_\lambda)$ である。
• 区間反復と測度推定を用いて、$K_R \cdot K_R$ における $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ の補集合の測度を評価し、$\lambda$ に従って幾何級数的に減少することを示す。
• $\phi_n(\lambda)$ の一様収束を用いて、$\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ の連続性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中間三分の1カントール集合 $C$ における $C \cdot C$ の正確な位相的構造は何か？
• RQ2 パrameter $\lambda \in [1/(m+1), 1/m)$ を持つ均一な $\lambda$-カントール集合において、積集合 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ はどのように分解されるか？
• RQ3 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ のLebesgue測度は $\lambda$ に連続的に依存するか？
• RQ4 特定の $\lambda$ に対して、集合 $\{x^2 : x \in K_R\}$ は $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ に吸収可能か？
• RQ5 $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ は $\lambda$ に関して単調増加か？

主な発見

• 中間三分の1カントール集合（$m=2$, $\lambda=1/3$）の場合、積集合 $C \cdot C$ のLebesgue測度は数値近似により約 0.80955 に推定される。
• $K_\lambda \cdot K_\lambda$ の積集合は $\{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$ に等しい。ここで $K_R$ は $K_\lambda$ をインデックス $\geq 1$ の写像で写した像の和集合である。
• $K_R \cdot K_R$ は $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ と $\{x^2 : x \in K_R\}$ の和集合であり、後者はLebesgue測度がゼロである。
• $m=2$ および $\lambda \in (0.44, 1/2)$ の場合、$K_R \cdot K_R \setminus \bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ は正確に $\{(1-\lambda)^2, 1\}$ に等しく、したがって $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I} = ((1-\lambda)^2, 1)$ である。
• $[1/(m+1), 1/m)$ 上でLebesgue測度 $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ は連続である。これは有限近似 $\phi_n(\lambda)$ の一様収束を用いて証明される。
• $\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ は連続であり、数値的証拠から $[1/(m+1), 1/m)$ 上で単調増加である可能性が示唆される。