[論文レビュー] Multiplication operators on the Bergman space of bounded domains in C^d

Hansong Huang, Dechao Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℂ^d 内の有界領域上のバーグマン空間における乗法作用素を調査し、符号号が内部を持つ正則な固有写像である場合、そのような作用素が生成するフォン・ノイマン代数が有限次元であることを確立する。本稿は、許容可能な局所逆写像、解析接続、L^2_a-除去可能集合を用いて、単一変数の可換子および還元可能な部分空間に関する結果を一般化し、高次元における代数の構造が符号号写像の幾何学的性質および関数論的性質に依存することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study multiplication operators on Bergman spaces of high dimensional bounded domains and those von Neumann algebras induced by them via the geometry of domains and function theory of their symbols. In particular, using local inverses and $L^2_a$-removability, we show that for a holomorphic proper map $Φ=(ϕ_1, ϕ_2, \cdots , ϕ_d)$ on a bounded domain $Ω$ in $\mathbb{C}^{d}$, the dimension of the von Neumann algebra $\mathcal{V}^*(Φ,Ω) $ consisting of bounded operators on the Bergman space $L_a^2(Ω)$, which commute with both $ M_{ϕ_j}$ and its adjoint $M_{ϕ_j}^*$ for each $j$, equals the number of components of the complex manifold $\mathcal{S}_{Φ}= \{(z,w)\in Ω^2: Φ(z)=Φ(w),\, z ot\in Φ^{-1}(Φ(Z))\},$ where $Z$ is the zero variety of the Jacobian $JΦ$ of $ Φ.$ This extends the main result in \cite{DSZ} in high dimensional complex domains. Moreover we show that the von Neumann algebra $\mathcal{V}^*(Φ,Ω) $ may not be abelian in general although Douglas, Putinar and Wang \cite{DPW} showed that $\mathcal{V}^*(Φ,\mathbb{D})$ for the unit disk $\mathbb{D}$ is abelian.

研究の動機と目的

• ℂ^d 内の高次元有界領域への単一変数の可換子およびフォン・ノイマン代数に関する結果の拡張。
• バーグマン空間上での乗法作用素およびその随伴作用素が生成するフォン・ノイマン代数 𝒱*(Φ,Ω) の構造を調査すること。
• 𝒱*(Φ,Ω) が有限次元または自明である条件を特定すること、特に領域の幾何学的性質と符号号写像 Φ の解析的性質との関係を明らかにすること。
• 許容可能な局所逆写像、解析接続、L^2_a-除去可能集合が可換子およびフォン・ノイマン代数を特徴付ける役割を明らかにすること。
• 古典的な単一変数の結果（ϕ = ψ∘B ならば {M_ϕ}′ = {M_B}′）が高次元では成り立たないことを示し、ℂ^2 における反例を提示すること。

提案手法

• 有界領域 Ω ⊂ ℂ^d 上の正則関数の族 Φ に対して、{M_ϕ_j,Ω, M_ϕ_j,Ω*} の可換子としてフォン・ノイマン代数 𝒱*(Φ,Ω) を定義する。
• Φ の許容可能な局所逆写像とは、その解析接続が L_a^2(Ω) 上の有界作用素を導く局所正則逆写像である。
• 各許容可能な局所逆写像の同値類 [ρ] に対して、h ∈ L_a^2(Ω) を用いて、h∘σ·Jσ の和として L_a^2(Ω) 上の作用素 𝒪_{[ρ]} を構成する。
• ハルトスの現象および L^2_a-除去可能集合を用いて、局所逆写像の解析接続の定義域とその有界性を分析する。
• 正則な固有写像およびそのヤコビアン行列式の理論を適用し、Φ のリーマン面の成分数と 𝒱*(Φ,Ω) の次元との関係を特定する。
• 具体的な反例（例：ℂ^2 から小さな球を除いた領域における Φ(z₁,z₂) = (z₁²+z₂², z₁²z₂²)）を構成し、Φ が Ψ の関数である場合でも {M_Φ}′ ≠ {M_Ψ}′ となる例を示し、単一変数の一般化が成り立たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域 Ω ⊂ ℂ^d に対して、幾何学的および解析的条件が満たされるとき、フォン・ノイマン代数 𝒱*(Φ,Ω) が有限次元になるか。
• RQ2 許容可能な局所逆写像およびその解析接続は、可換子 {M_Φ,Ω}′ およびフォン・ノイマン代数 𝒱*(Φ,Ω) の構造とどのように関係するか。
• RQ3 単一変数の結果 {M_ϕ}′ = {M_B}′（ϕ = ψ∘B のとき）が高次元にどの程度一般化可能か。
• RQ4 Ω 上の正則な固有写像 Φ が、{M_Φ}′ = {M_Ψ}′ となるような別の正則な固有写像 Ψ の関数として表現可能か。
• RQ5 L^2_a-除去可能集合およびハルトスの現象が、局所逆写像に関連する作用素の有界性および可換性を決定する役割を果たすか。

主な発見

• Ω が性質 (1) および (2) を満たし、Φ: Ω → ℂ^d が 𝒪(Ω) 上で正則で、像に内点を含むならば、フォン・ノイマン代数 𝒱*(Φ,Ω) は有限次元である。
• 代数 𝒱*(Φ,Ω) は、Φ の許容可能な局所逆写像 ρ に関連する作用素 𝒪_{[ρ]} によって生成される。
• Φ の像に内点がない場合、𝒱*(Φ,Ω) は無限次元である可能性があり、例 4.5 で示されている。
• 例 7.4 において、単位球またはバイディスクから小さな閉球を除いた領域 Ω に対して、𝒱*(Φ,Ω) = ℂI であるが、可換子 {M_Φ,Ω}′ には 8 個の非自明な作用素が含まれる。
• 古典的な単一変数の結果 {M_ϕ}′ = {M_B}′（ϕ = ψ∘B のとき）は高次元に一般化されない：例 7.5 では、Φ = h∘Ψ であっても {M_Φ}′ = {M_Ψ}′ が成り立たない例が示されている。
• 例 7.5 において、{M_Φ}′ = {M_Ψ}′ かつ Φ = h∘Ψ を満たす正則な固有写像 Ψ が存在すると、Φ−Φ(λ) の根の重複度が一致しないため、矛盾が生じる。