[論文レビュー] Multiplicative Approximations for Polynomial Optimization Over the Unit Sphere

Vijay Bhattiprolu, Mrinal K. Ghosh+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Tensor decomposition and applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単位球面上の$d$次同次多項式の絶対値を最大化するための近似アルゴリズムを提示し、高次のソム・オブ・スクアアーズ（SoS）緩和を用いて実行時間と近似比のトレードオフを達成する。著者らは、従来の手法よりも変数の数の増加を抑えられる新しいデカップリング技術を導入し、一般多項式、非負多項式、スパース多項式に対してより良い近似保証を得ることを可能にする。

ABSTRACT

We consider the following basic problem: given an $n$-variate degree-$d$ homogeneous polynomial $f$ with real coefficients, compute a unit vector $x \in \mathbb{R}^n$ that maximizes $|f(x)|$. Besides its fundamental nature, this problem arises in diverse contexts ranging from tensor and operator norms to graph expansion to quantum information theory. The homogeneous degree $2$ case is efficiently solvable as it corresponds to computing the spectral norm of an associated matrix, but the higher degree case is NP-hard. We give approximation algorithms for this problem that offer a trade-off between the approximation ratio and running time: in $n^{O(q)}$ time, we get an approximation within factor $O_d((n/q)^{d/2-1})$ for arbitrary polynomials, $O_d((n/q)^{d/4-1/2})$ for polynomials with non-negative coefficients, and $O_d(\sqrt{m/q})$ for sparse polynomials with $m$ monomials. The approximation guarantees are with respect to the optimum of the level-$q$ sum-of-squares (SoS) SDP relaxation of the problem. Known polynomial time algorithms for this problem rely on lemmas. Such tools are not capable of offering a trade-off like our results as they blow up the number of variables by a factor equal to the degree. We develop new decoupling tools that are more efficient in the number of variables at the expense of less structure in the output polynomials. This enables us to harness the benefits of higher level SoS relaxations. We complement our algorithmic results with some polynomially large integrality gaps, albeit for a slightly weaker (but still very natural) relaxation. Toward this, we give a method to lift a level-$4$ solution matrix $M$ to a higher level solution, under a mild technical condition on $M$.

研究の動機と目的

• 実数$n$次元空間における単位球面上で$d$次同次多項式$f(x)$の絶対値$|f(x)|$を最大化するNP困難な問題に対処すること。
• 特に正確な計算が困難な高次多項式に対して、実行時間と近似比のバランスを取る効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 従来の補題が次数に応じて変数数を増加させるという制限を克服するため、より効率的なデカップリングツールを導入すること。
• 高次のSoS緩和を用いて、非負やスパースな多項式の構造的クラスに対して、より良い近似比を達成すること。
• 特定の緩和レベルの本質的限界を示すために、緩和されたSoS定式化における整数性ギャップを確立すること。

提案手法

• 古典的な補題と比較して変数の爆発を抑える新しいデカップリングツールの設計により、高次のSoS緩和の効率的利用を可能にする。
• レベル$q$のソム・オブ・スクアアーズ（SoS）半定値計画法（SDP）緩和を用いて、単位球面上の$|f(x)|$の最適値を近似する。
• レベル$q$のSoS緩和の最適値に対する近似保証を導出し、その境界は$n$、$q$、$d$、およびスパarsityに依存する。
• 行列にややきつい技術的条件が満たされる場合に、レベル4のSoS解行列を高次のレベルに拡張するためのリフトプロシージャを導入する。
• 多項式の構造的性質（非負係数やスパarsityなど）を活用して、近似比を改善する。
• 実行時間$n^{O(q)}$と近似係数$O_d((n/q)^{d/2-1})$、$O_d((n/q)^{d/4-1/2})$、$O_d(\sqrt{m/q})$のトレードオフを分析する。それぞれ一般多項式、非負多項式、スパース多項式に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次のSoS緩和を活用することで、単位球面上の多項式最適化において、より良い近似比を達成できるか？
• RQ2 変数数を維持しつつ、効率的なSoSに基づく近似を可能にするデカップリング技術をどのように設計できるか？
• RQ3 非負やスパースな多項式クラスに対して、SoS緩和下でどの程度の近似保証が達成可能か？
• RQ4 整数性ギャップを通じて、この問題におけるSoS緩和の本質的限界は何か？
• RQ5 低次のSoS解を、妥当性と近似品質を保ったまま高次のレベルに拡張できるか？

主な発見

• 一般の$d$次多項式に対して、レベル$q$のSoS緩和に対する近似比$O_d((n/q)^{d/2-1})$を、$n^{O(q)}$時間で達成する。
• 非負係数をもつ多項式に対しては、同じ実行時間で近似比が$O_d((n/q)^{d/4-1/2})$に改善される。
• $m$個の単項式からなるスパース多項式に対しては、近似比が$O_d(\sqrt{m/q})$に低下し、低複雑度のインスタンスで優れた性能を示す。
• 提案されたデカップリングツールは、従来の補題と比較して変数の爆発を抑制し、高次のSoS緩和の効率的利用を可能にする。
• レベル4のSoS解行列を高次のレベルに拡張するためのリフト法を開発し、ややきつい技術的条件の下で妥当性と近似品質を保つ。
• やや弱い緩和に対して多項式時間の整数性ギャップを確立し、特定の緩和レベルの根本的限界を示している。