[論文レビュー] Multiplicative formulas in Cohomology of $G/P$ and in quiver representations

Nicolas Ressayre|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、幾何的不変式理論と退化技術を用いて、一般化フラッグ多様体 G/Q におけるコhomology積の乗法的公式と、クイバー表現における表現数の公式を確立する。主な結果は、H*(G/Q, Z) における構造定数が、より小さなフラッグ多様体とレヴィ部分群からの定数の積に分解されることを示し、Richmondのフラッグ多様体のコhomologyに関する乗法的公式を任意のパラボリック部分群へ一般化する。また、Derksen-Weymanのクイバー表現数に関する結果を、積構造の新しい幾何的解釈を用いて拡張する。

ABSTRACT

Consider a partial flag variety $X$ which is not a grassmaninan. Consider also its cohomology ring ${ m H}^*(X,\ZZ)$ endowed with the base formed by the Poincaré dual classes of the Schubert varieties. In \cite{Richmond:recursion}, E. Richmond showed that some coefficient structure of the product in ${ m H}^*(X,\ZZ)$ are products of two such coefficients for smaller flag varieties. Consider now a quiver without oriented cycle. If $α$ and $β$ denote two dimension-vectors, $α\circβ$ denotes the number of $α$-dimensional subrepresentations of a general $α+β$-dimensional representation. In \cite{DW:comb}, H. Derksen and J. Weyman expressed some numbers $α\circβ$ as products of two smaller such numbers. The aim of this work is to prove two generalisations of the two above results by the same way.

研究の動機と目的

• フラッグ多様体 G/Q のコhomologyに関するRichmondの乗法的公式を、任意のパラボリック部分群へ一般化すること。
• Derksen-Weymanのクイバー表現数に関する積公式を、より広い次元ベクトルのクラスへ拡張すること。
• 退化と群作用に基づく共通の幾何的枠組みを通じて、2つの設定を統一すること。
• 表現空間間の写像の次元と次数を用いた新しい幾何的解釈を通じて、クイバー表現積の構造を明らかにすること。

提案手法

• 一パrameter部分群 λ を用いた G-作用を持つ滑らかな多様体 X に対して、写像 η: G ×P(λ) C+ → X の次数 d(G, X, C, λ) を定義する。
• Bialynicki-Briot-Bahlfass分解を適用し、次数 δ(G, X, C, λ) をレヴィ部分群 L に関する δ(L, C, Cε, λε) と δ(G, X, C, λ) に関連付ける。
• 積公式を証明する：δ(G, X, C, λ) = δ(L, C, Cε, λε) = 0 ならば、d(G, X, Cε, λε) = d(L, C, Cε, λε) · d(G, X, C, λ) が成り立つ。
• この次数公式を、写像 η: G ×P C+ → G/Q を通じて G/Q のコhomologyに適用し、構造定数を表現数に関連付ける。
• クイバー次元ベクトルに於いて、Ringle形式 ⟨·, ·⟩ を用いて積の恒等式の直交条件を定義する。
• ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = 0 かつ β ◦γ = 1 のとき、写像の行列式を用いた幾何的解釈を通じて、積 α ◦β + γ = (α ◦β)(α ◦γ) の構造を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomology環 H*(G/Q, Z) の ⊙0 積における構造定数は、G/P と L/(L ∩ Q) からのより小さな不変量の積にどのように分解できるか？
• RQ2 一般の表現における部分表現の数が、クイバー表現において、より小さいような数の積に分解されるのはどのような条件下か？
• RQ3 写像の次数とファイバー次元を用いた幾何的解釈を通じて、クイバー表現数の積公式をどのように与えられるか？
• RQ4 退化の文脈において、写像 η の次数とそのレヴィ部分群への制限の次数との関係は何か？

主な発見

• (H*(G/Q, Z), ⊙0) のシューベルト基底における構造定数は、(H*(G/P, Z), ⊙0) と (H*(L/(L ∩ Q), Z), ⊙0) における対応する定数の積に等しい。
• ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = ⟨β, γ⟩ = 0 を満たすクイバー次元ベクトル α, β, γ に対して、恒等式 (α + β ◦γ)(α ◦β) = (α ◦β + γ)(β ◦γ) が成り立つ。
• ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = 0 かつ β ◦γ = 1 のとき、恒等式は α ◦β + γ = (α ◦β)(α ◦γ) に簡略化され、新たな乗法的公式が得られる。
• 写像 ηα˜+β が C 上で消えない行列式を持つのは、ext(α, β) = 0 かつすべての i < j に対して ⟨βi, βj⟩ = 0 であるときかつそのときに限る。
• 写像 m: K[Rep(Q, γ)]⟨α,·⟩ ⊗ K[Rep(Q, γ)]⟨β,·⟩ → K[Rep(Q, γ)]⟨α+β,·⟩ は、ext(α, β) = 0 かつ β ◦γ = 1 のとき同型である。
• 本結果は、Derksen-Weymanの不変式論的アプローチとは異なる、幾何的証明を通じてクイバー表現数の積公式を示している。