[論文レビュー] Multiplicative function instead of logarithm (an elementary approach)

É. Yu. Lerner|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体上の乗法的関数の値の列が、平行移動不変線形作用素のもとで最も複雑またはほぼ最も複雑であるための必要十分条件を確立する。これは、対数列が極めて複雑であるというアーノルドの仮説を一般化するものであり、初等的な代数的技法を用いて、作用素が有限差分作用素 Δ で割り切れる場合、そのような列が最大の複雑性を持つことを証明する。有限体における多項式および乗法的関数のダイナミクスに関する重要な結果が得られる。

ABSTRACT

V.I. Arnold has recently defined the complexity of finite sequences of zeroes and ones in terms of periods and preperiods of attractors of a dynamic system of the operator of finite differentiation. Arnold has set up a hypothesis that the sequence of the values of the logarithm is most complicated or almost most complicated. In this paper we obtain the necessary and sufficient conditions which make this sequence (supplemented with zero) most complicated for a more wide class of operators. We prove that a sequence of values of a multiplicative function in a finite field is most complicated or almost most complicated for any operator divisible by the differentiation operator.

研究の動機と目的

• 有限体における有限差分作用素 Δ に対して、対数列が最大の複雑性を示すという V.I. アーノルドの仮説を解明すること。
• 複雑性の概念を対数列に限らず、乗法的関数へと拡張すること。
• 乗法的関数が最大またはほぼ最大の複雑性を持つ列を生成するための必要十分条件を特定すること。
• アーノルドの作用素 Δ に対する複雑性に関する結果を、より広いクラスの平行移動不変線形作用素へ一般化すること。
• 高度な道具を用いずに、乗法的関数の複雑性の最大化を初等的な代数的証明で示すこと。

提案手法

• F_q^n 上の平行移動不変線形作用素 A を定義し、循環シフト δ と可換であることを保証することで、循環置換に対して不変であることを確保する。
• 中心的対象として有限差分作用素 Δ = δ - I を用い、作用素 A が Δ で割り切れる場合に一般化された結果を得る。
• f(i) = 乗法的関数の値によって生成される列のダイナミクスを分析し、作用素 A の軌道における前周期および周期長に注目する。
• 生成関数 F(y) = ∑f(i)y^i の代数的構造を、y^n - 1 を法とする多項式の剰余算術を用いて研究する。
• k が n と互いに素であるときの乗算作用素 ⋅_k を用い、H(y) = F(y)F^−(y) の係数分布の不変性を示す。
• 乗法的関数の性質と y^n - 1 を法とする群論的構造を活用して、∑h(i) = 0 および h(1) = h(2) = ... = h(n-1) を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体における乗法的関数が生成する列が、平行移動不変作用素のもとで最大の複雑性を示す条件は何か？
• RQ2 アーノルドの仮説（Δ に対して対数列が最大の複雑性を示す）は、より広いクラスの作用素に対しても成り立つか？
• RQ3 生成多項式を y^n - 1 を法として用いることで、乗法的関数の複雑性を代数的に特徴づけられるか？
• RQ4 作用素 Δ は、列の最大の前周期および周期長を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ∑y^i を法とする代数で可逆性が失敗する場合、なぜ GCD(F(y), ∑y^i) = 1 となるのか、そしてそれが複雑性の最大化とどのように関係するのか？

主な発見

• 有限体 F_q から F_q への乗法的関数 f が、最大の複雑性（最も複雑）な列を生成するのは、作用素 A が Δ で割り切れ、かつ n が体の特徴 p と互いに素であるときに限る。
• r = n+1 が奇素数であるとき、f(i) = レジディ・記号 (i/r) mod r（平方剰余の指標）は、Δ に対して最も複雑であり、アーノルドの仮説を確認する。
• q=2 かつ n が奇数のとき、Δ: F_2^n → F_2^n のグラフは、O_m と T_2 のサイクルに分解され、成分数は n と共に急速に増加する。例えば n=31 のとき、34636834 個の成分を持つ。
• H(y) = F(y)F^−(y) mod (y^n - 1) の係数列 h(i) は、h(1) = h(2) = ... = h(n-1) を満たし、h(0) - h(1) ≠ 0 である。これにより、∑y^i を法とする可逆性が証明される。
• ∑_{i=1}^{n-1}f(i)y^i と ∑_{i=0}^{n-1}y^i の GCD が 1 であることは、列が最大の複雑性を持つことに等しく、これは f が非自明な乗法的関数で f(-1) ≠ 0 であるときに限り成立する。
• A が Δ で割り切れない場合には、この結果は成り立たない。例えば A = I + δ + ... + δ^{n-1} では、非自明な乗法的関数に対して周期が短くなり、最大性の主張が無効になる。