[論文レビュー] Multiplicative functions in short intervals II

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、短い区間における乗法的関数のエネルギー節約型誤差項を確立し、関数の平均が、その乗法的集合の自然密度の逆数に比例する区間長であっても、通常は長期平均に近いことを証明している。主な貢献は、すべての h₀ ≥ 2 に対して成り立ち、関数の素数における挙動とは無関係に、例外的集合に対して一様なエネルギー節約型評価 ≪X h₀^(-δκ) を得ることである。応用例として、二乗の和、数体におけるノルム形式、および滑らかな数が含まれる。

ABSTRACT

We determine the behavior of multiplicative functions vanishing at a positive proportion of prime numbers in almost all short intervals. Furthermore we quantify "almost all" with uniform power-saving upper bounds, that is, we save a power of the suitably normalized length of the interval regardless of how long or short the interval is. Such power-saving bounds are new even in the special case of the M\"obius function. These general results are motivated by several applications. First, we strengthen work of Hooley on sums of two squares by establishing an asymptotic for the number of integers that are sums of two squares in almost all short intervals. Previously only the order of magnitude was known. Secondly, we extend this result to general norm forms of an arbitrary number field $K$ (sums of two squares are norm-forms of $\mathbb{Q}(i)$). Thirdly, Hooley determined the order of magnitude of the sum of $(s_{n + 1} - s_{n})^{\gamma}$ with $\gamma \in (1, 5/3)$ where $s_{1} < s_2 < \ldots$ denote integers representable as sums of two squares. We establish a similar results with $\gamma \in (1, 3/2)$ and $s_n$ the sequence of integers representable as norm-forms of an arbitrary number field $K$. This is the first such result for a number field of degree greater than two. Assuming the Riemann Hypothesis for all Hecke $L$-functions we also show that $\gamma \in (1,2)$ is admissible. Fourthly, we improve on a recent result of Heath-Brown about gaps between $x^{\varepsilon}$-smooth numbers. More generally, we obtain results about gaps between multiplicative sequences. Finally our result is useful in other contexts aswell, for instance in our forthcoming work on Fourier uniformity (joint with Terence Tao, Joni Terav\"ainen and Tamar Ziegler).

研究の動機と目的

• 乗法的集合の自然密度の逆数に比例する区間長における乗法的関数の短い平均に対する一様なエネルギー節約型誤差項を確立すること。
• モービウス関数および二乗の和に関する既存の結果を、一般の乗法的関数および任意の数体へと拡張すること。
• 短い平均が長期平均から大きく逸脱する区間（例外的集合）のサイズを、関数の局所的サイズとは無関係にエネルギー節約型で評価すること。
• 一般理論を応用し、滑らかな数のギャップや数体におけるノルム形式に関する新しい漸近的およびオーダー評価を得ること。
• 今後の研究におけるフーリエ一様性など、より広範な問題に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• スパースなディリクレ多項式に対する平均値定理を開発し、ハラーシュ型推定を用いて短い区間における乗法的関数の L² ノルムを制御する。
• ディリクレ多項式を二進区間へ分解し、パーソヴァル型の不等式を適用して L² モーメントを制御する。
• スクリーニング推定およびモーメント計算を用いて、特に非自明なキャンセルが生じる状況下での短い平均の分散を制御する。
• コサイン関数に log p と周波数を乗じた振動項を取り扱うために、新規の不等式（補題 A.1）を用い、等分布性と再配分の議論を組み合わせる。
• 古典的および現代的技法のハイブリッドを用い、零点領域やエルドーシュ＝トゥーラン不等式による等分布性の議論を統合する。
• 古典的および現代的技法のハイブリッドを用い、零点領域やエルドーシュ＝トゥーラン不等式による等分布性の議論を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が正の割合の素数で消失する場合であっても、区間長に一様に依存するエネルギー節約型誤差項を、乗法的関数の短い平均に対して得られるか。
• RQ2 二乗の和や滑らかな数に関する結果は、二次体を超える次数の任意の数体におけるノルム形式へ、どの程度一般化可能か。
• RQ3 乗法的集合によって定義される数列におけるギャップ和 (n_{i+1} - n_i)^γ の指数 γ の範囲を、二次体における既知の境界を超えて改善できるか。
• RQ4 短い平均が長期平均から著しく逸脱する区間の例外的集合の最適なサイズは何か。
• RQ5 複素数値乗法的関数や、単位未満の局所的サイズを持つ関数へ、理論をどのように拡張できるか。

主な発見

• 任意の乗法的関数 f: ℕ → [−1, 1] で、正の割合の素数で消失するものに対して、区間長が ≍ δ(N;X)⁻¹ であるような短い平均は、すべての x ∈ [X, 2X] のうち、≪X h₀^(-δκ) 個の例外を除き、長期平均から δ 以内に収束する。ここで κ = κ(α) > 0 は密度 α に依存する。
• δ ≥ (log h₀)^(-1/300) のとき、例外的集合のサイズは ≪X (h₀^(-δ/15) + X^(-δ⁴/¹⁰¹⁶)) で抑えられ、以前の境界（h₀ ≤ log^ν X を要件としていた）を改善する。
• 数体 K のノルム形式として表せる整数の列について、n_i ≤ X における (n_{i+1} - n_i)^γ の和は、すべての γ ∈ [1, 3/2) に対して ≍ X δ_K(X)^{1−γ} に比例する。これは、ヒース＝ブラウンの滑らかな数に関する結果を改善する。
• 滑らかな数に対しても結果は拡張可能である：[X,2X] 内の (x, x+h] のうち、x^θ-滑らかな数を含まない区間の数は ≪ε,θ X h₀^(-1/2+ε) で抑えられ、従来の境界を改善する。
• すべてのヘケ L 関数についてリーマン予想を仮定すると、ギャップ和の指数範囲は γ ∈ (1,2) へ拡張可能であり、すべての数体において一様に成立する。
• 本手法により、L² 平均値における振動項を制御するために不可欠な、新たな不等式（補題 A.1）が得られ、|f(p)|(1 - |cos(π t log p / 2π)|) の和を短い区間で制御する。