[論文レビュー] Multiplicative operators in the spaces of Schwartz families

David Carfì|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな関数とシュワーツ族間の点ごとの乗算演算を導入し、分布空間におけるシュワーツ線形作用素のための新しいスペクトル論を可能にする。主な貢献は、可逆な $\epsilon_M$ 関数による乗算が S-線形独立性および生成を保つことの確立であり、これにより量子力学の形式と類似した関数計算および固有族理論が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the multiplication among smooth functions and Schwartz families. This multiplication is fundamental in the formulation and development of a spectral theory for Schwartz linear operators in distribution spaces, to introduce efficiently the Schwartz eigenfamilies of such operators and to build up a good functional calculus for them. The definition of eigenfamily is absolutely natural and this new operation allows us to develop a rigorous and manageable spectral theory for Quantum Mechanics, since it appears in a form extremely similar to the current use in Physics.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数 $\mathcal{O}_M$ とシュワーツ族との間の点ごとの乗算演算を定義し、その性質を調べること。
• この乗算を用いて、固有族を定義することで、シュワーツ線形作用素の厳密なスペクトル論を確立すること。
• 乗算の性質を S-線形生成に特化させることで、このような作用素に対する関数計算を構築すること。
• 可逆性が、乗算による S-基底構造の保存に必要かつ十分であることを証明すること。
• 物理的量子力学の形式に密接に一致する、分布空間における固有族およびスペクトル分解の数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 関数 $f \in \mathcal{O}_M$ とシュワーツ族 $w$ の点ごとの乗算を $ (fw)_p = f(p)w_p $ により定義し、その結果がシュワーツ族の空間に属することを保証する。
• 半ノルム $ \gamma_{\phi,p}(f) = \sup_{x \in \mathbb{R}^n} |\phi(x) \partial^p f(x)| $ を用いて、$\mathcal{O}_M^{(n)}$ 上の標準的位相を定義する（$\phi \in \mathcal{S}_n$, $p \in \mathbb{N}_0^n$）。
• 関数 $f \in \mathcal{O}_M$ による乗算が、$\mathcal{S}_n$ から $\mathcal{S}_n$ への連続作用素 $M_f$ を誘導することを確立し、その対合 $^tM_f: \mathcal{S}_n' \to \mathcal{S}_n'$ が、緩やかな分布上での乗算作用素として作用することを示す。
• ディエウドン＝シュワーツの定理を適用し、$fe$ が S-基底であるとき、$fe$ に付随する作用素の上への性質が $f^{-1} \in \mathcal{O}_M^{(m)}$ を意味することを示す。
• $fe$ が $\mathcal{S}_n'$（または閉部分空間）の S-基底であるための必要十分条件は、$f$ が環 $\mathcal{O}_M^{(m)}$ 内で可逆であることであることを証明する。
• 超位置作用素と双対性を用いて、$fe$ の線形独立性が $f$ の消失しないこと、およびすべての $g \in \mathcal{S}_m$ に対して $f^{-1}g \in \mathcal{S}_m$ に属することと関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\mathcal{O}_M$ とシュワーツ族との点ごとの乗算は、シュワーツ族の空間内で適切に定義され、閉じているか？
• RQ2 関数 $\mathcal{O}_M$ による乗算が、分布空間における S-線形独立性および生成を保つために必要な条件は何か？
• RQ3 関数 $\mathcal{O}_M$ による乗算が、$\mathcal{S}_n'$ 内の族の S-基底構造を保つための条件は何か？
• RQ4 関数 $\mathcal{O}_M$ の可逆性は、乗算による S-基底性の保存とどのように関係しているか？
• RQ5 この乗算を用いてシュワーツ線形作用素の関数計算を構築できるか？また、これは量子力学における固有族とどのように関係するか？

主な発見

• 関数 $f \in \mathcal{O}_M$ とシュワーツ族 $w$ の点ごとの乗算は、別のシュワーツ族を生成し、標準的位相においてそれぞれの変数に関して連続である。
• $\mathcal{S}_n$ 上の乗算作用素 $M_f$ の対合は、$\mathcal{S}_n'$ 上の分布に対して $f$ による乗算として作用し、正則作用素を緩やかな分布へと拡張可能である。
• $f \in \mathcal{O}_M^{(m)}$ が可逆であれば、$fe$ が $\mathcal{S}_n'$ の S-基底であるための必要十分条件は、$e$ が $\mathcal{S}_n'$ の S-基底であることである。可逆乗算の下で S-基底の間には一対一対応が存在する。
• 任意の $f \in \mathcal{O}_M^{(m)}$ に対して、$f$ がどこでもゼロでない限り、$w$ の S-線形生成は $fw$ の S-線形生成に等しい。すなわち、$^\mathcal{S}\mathrm{span}(w) = \,^\mathcal{S}\mathrm{span}(fw)$。
• $f^{-1} \in \mathcal{O}_M^{(m)}$ であるための必要十分条件は、関連する作用素 $ (fe)^\wedge $ が上への性質を持つことである。これは $fe$ が S-基底であることに等しい。
• $fe$ が S-線形独立であるためには、すべての $p$ に対して $f(p) \neq 0$ であることが必要であり、$fe$ が $\mathcal{S}_n'$ の S-基底であるためには、$f^{-1} \in \mathcal{O}_M^{(m)}$ であることが必要かつ十分である。