[論文レビュー] Multiplicative preprojective algebras, middle convolution and the Deligne-Simpson problem

William Crawley-Boevey, Peter Shaw|ArXiv.org|Apr 8, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、中間畳み込みを経由してデリーニュ＝シンプソン問題と関連付けるための枠組みとして乗法的プリプロジェクティブ代数を導入する。同定式 $A_1\cdots A_k = 1$ に対して、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ 内の所与の共役類に属する $A_i$ に対する非可約解の存在について、これらの代数の表現論と次元ベクトルにおけるルート系の条件を用いて十分条件を示す。

ABSTRACT

We introduce a family of algebras which are multiplicative analogues of preprojective algebras, and their deformations, as introduced by M. P. Holland and the first author. We show that these algebras provide a natural setting for the 'middle convolution' operation introduced by N. M. Katz in his book 'Rigid local systems', and put in an algebraic setting by M. Dettweiler and S. Reiter, and by H. Volklein. We prove a homological formula relating the dimensions of Hom and Ext spaces, study varieties of representations of multiplicative preprojective algebras, and use these results to study simple representations. We apply this work to the Deligne-Simpson problem, obtaining a sufficient (and conjecturally necessary) condition for the existence of an irreducible solution to the equation $A_1 A_2 ... A_k = 1$ with the $A_i$ in prescribed conjugacy classes in $GL_n(C)$.

研究の動機と目的

• 乗法的プリプロジェクティブ代数の文脈において中間畳み込み作用素のホモロジー的枠組みを確立すること。
• 行列方程式 $A_1\cdots A_k = 1$ に対して、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ 内の所与の共役類に属する $A_i$ に対する非可約解の存在について十分条件を提示すること。
• 次元ベクトルとルート条件を介して、デリーニュ＝シンプソン問題をクーヴァーの表現論およびルート系と結びつけること。
• 乗法的プリプロジェクティブ代数の単純表現の存在が、行列方程式に対する非可約解の存在を示すこと。
• 共役類の閉包内の解についての既存の結果を、代数的変形技術を用いて、実際に共役類 $C_i$ 内の解（厳密解）に拡張すること。

提案手法

• 双対クーヴァーのパス代数の変形として、可逆な $1 + aa^*$ と矢印に関する積条件を含む関係式によって定義される乗法的プリプロジェクティブ代数 $\Lambda^q$ を導入する。
• 固有値データ $\xi_{ij}$ と部分積のランクを用いて、共役類 $C_i$ に関連する次元ベクトル $\alpha$ を定義し、行列方程式の構造を符号化する。
• 乗法的プリプロジェクティブ代数 $\Lambda^q$ の表現カテゴリにおける $\dim\operatorname{Hom}$ と $\dim\operatorname{Ext}$ 空間の関係を示すホモロジー的公式を用いて、表現多様体を分析する。
• 代数的に $\Lambda^q$-加群を介して定義される中間畳み込み作用素を適用し、異なるクーヴァーと共役類データの表現を関連付ける。
• 乗法的プリプロジェクティブ代数 $\Lambda^q$ の表現と $A_1\cdots A_k = 1$ の解との間の対応関係を確立し、厳密な表現（構造写像が単射かつ全射）が実際に共役類 $C_i$ 内の解に対応することを示す。
• ルート系理論を用いる：$p(\alpha) = 1 - q(\alpha)$ を定義し、非自明なルート分解 $\alpha = \beta + \gamma + \cdots$ に対して $\xi^{[\beta]} = 1$ のとき $p(\alpha) > p(\beta) + p(\gamma) + \cdots$ を要求することで、表現の単純性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列方程式 $A_1\cdots A_k = 1$ が、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ 内の所与の共役類に属する $A_i$ を持つ非可約解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 中間畳み込み作用素は、クーヴァーの表現論的枠組み内でどのように代数的に実現できるか？
• RQ3 乗法的プリプロジェクティブ代数は、デリーニュ＝シンプソン問題とルート系理論、ホモロジー代数をどのように統合するか？
• RQ4 乗法的プリプロジェクティブ代数の表現が、実際に共役類 $C_i$ 内の解（厳密解）に対応する条件は何か？
• RQ5 次元ベクトル $\alpha$ と固有値データ $\xi_{ij}$ にどのような条件を課すと、$\Lambda^q$ の単純表現が存在するか？

主な発見

• 行列方程式 $A_1\cdots A_k = 1$ に対して、$A_i \in C_i$ となる非可約解が存在する十分条件は、関連する次元ベクトル $\alpha$ がクーヴァー $Q_w$ に対して正ルートであること、$\xi^{[\alpha]} = 1$ であること、および、非自明な分解 $\alpha = \beta + \gamma + \cdots$ に対して $\xi^{[\beta]} = \xi^{[\gamma]} = \cdots = 1$ ならば $p(\alpha) > p(\beta) + p(\gamma) + \cdots$ が成り立つことである。
• 乗法的プリプロジェクティブ代数 $\Lambda^q$ に次元 $\alpha$ の表現が存在するための必要十分条件は、$A_i \in \overline{C_i}$（共役類の閉包）であるような $A_1\cdots A_k = 1$ の解が存在することである。
• 構造写像が単射かつ全射である（厳密な）$\Lambda^q$ の表現が存在するための必要十分条件は、$A_i \in C_i$ であるような解が存在することである。
• 次元 $\alpha$ の $\Lambda^q$ の単純表現が存在するための必要十分条件は、$A_i \in C_i$ であるような $A_1\cdots A_k = 1$ の非可約解が存在することである。
• ルート論的条件が満たされていれば、定理1.11により、$p(\alpha)$ に関するルート条件が成立するとき、$\Lambda^q$ の単純表現の存在が保証される。
• 中間畳み込み作用素は、乗法的プリプロジェクティブ代数の構造に自然に埋め込まれており、カッツとヴォルクレインの構成を代数的に実現する。