[論文レビュー] Multiplicative structure on the Hochschild cohomology of crossed product algebras

Rina Anno|ArXiv.org|Nov 15, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、体 $\mathbf{k}$ において、$\dim X$ や $|G|$ よりも大きい特性を持つ有限群 $G$ が滑らかなアフィン多様体 $X$ に作用するとき、交叉積代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ のホッジィッヒ・コホモロジーに明示的な乗法的構造を確立する。主な結果は、$G$-不変部分多様体上の多重量場および正規束を用いたカップ積の公式であり、ホッジィッヒ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型を等置的設定に一般化する。

ABSTRACT

Consider a smooth affine algebraic variety $X$ over an algebraically closed field, and let a finite group $G$ act on it. We assume that the characteristic of the field is greater than the dimension of $X$ and the order of $G$. An explicit formula for multiplication on the Hochschild cohomology of a crossed product of $k[G]$ and $k[X]$ is given in terms of multivector fields on $X$ and $g$-invariant subvarieties of $X$ for $g\in G$.

研究の動機と目的

• 交叉積代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ におけるホッジィッヒ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型を、有限群作用の状況に拡張すること。
• 滑らかで $\mathrm{char}(\mathbf{k}) > \dim X, |G|$ である $X$ に対して、$HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ のカップ積構造を $X$ 上の幾何的データを用いて明示的に記述すること。
• 先行するシンプレクティック作用に関する結果を、より広範な滑らかなアフィン多様体と有限群作用の設定に一般化すること。
• 群作用の対称性および固定点部分多様体を組み込んだ、ホッジィッヒ・コホモロジーにおける乗法の公式を提供すること。

提案手法

• 同型 $HH^i(B) \cong \left(\bigoplus_{g \in G, m} H^i(A, A_g)\right)^G$ を用いて、双モジュールの $G$-不変コホモロジーとコホモロジーを関連付ける。
• 写像 $\mu: C^i(A,B) \otimes C^j(A,B) \to C^{i+j}(A,B)$ を $\mu(\phi g \otimes \psi h) = \phi(a_1,\dots,a_i) \cdot \psi^g(a_{i+1},\dots,a_{i+j})gh$ で定義し、これによりホッジィッヒ・チェインに乗法を定義し、コホモロジーのレベルに誘導される。
• 群固定点の形式的近傍を用いた局所モデルを構成し、補題 5 より作用が線形化されることにより、問題を線形の場合に還元する。
• 形式的近傍でホッジィッヒ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型を適用し、補題 4 を用いて形式的近傍からグローバルな層同型に同型を拡張する。
• 制限および対称化を用いて $HH^*(B)$ 上の乗法を定義する：$\pi^u$ は多重量場に作用し、積は $X^g_m \cap X^h_n \supset X^u_k$ での楔積で与えられ、符号因子 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$ を含む。
• $TX|_{X^g_m} \cong T X^g_m \oplus N_X X^g_m$ の分解を用いて接空間と正規束の成分を分離し、コホモロジー群を $\Gamma(X^g_m, \Lambda^{i-d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$ として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ の作用下での $X$ の幾何的不変量を用いて、交叉積代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ のホッジィッヒ・コホモロジーをどのように記述できるか？
• RQ2 $X$ が滑らかで $\mathrm{char}(\mathbf{k}) > \dim X, |G|$ のとき、$HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ のカップ積の明示的公式は何か？
• RQ3 固定点部分多様体 $X^g_m$ に制限した場合、ホッジィッヒ・コホモロジーの乗法的構造はどのように振る舞うか？
• RQ4 シンプレクティックの場合、乗法的構造はどのように単純化され、シンプレクティック形式は正規束の項をどのように低減させるか？
• RQ5 グローバルな乗法的構造は、$G$-固定点の形式的近傍における局所データから再構成可能か？

主な発見

• 交叉積代数 $B = \mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ のホッジィッヒ・コホモロジー $HH^i(B)$ は、$d_{g,m} = \mathrm{codim}\, X^g_m$ として、次のようにグレーディングされたベクトル空間として同型である：$\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$。
• カップ積 $HH^*(B)$ は、$u \in G$ および $X^u_k \subset X^g_m \cap X^h_n$ の成分の和で与えられ、コホモロジー類の接成分および正規成分の $\pi^u$-対称化楔積を含む。
• 公式には、グレーディングおよびカップ積における向きを反映する符号因子 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$ が含まれる。
• シンプレクティックの場合、正規束項 $\Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m$ はシンプレクティック形式により自明化され、コホモロジーは $\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m)^G$ に単純化され、積は $\pi^u(\alpha_{g,m}|_{X^u_k} \wedge \gamma_{h,n}|_{X^u_k})$ で与えられる。
• 群作用 $g=1$ の場合、この構成はホッジィッヒ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型と整合し、多重量場上の標準的な楔積が回復される。
• グローバルな乗法的構造は、$G$-固定点の形式的近傍における局所構造によって決定され、補題 4 による形式的近傍での同型と補題 5 による群作用の線形化を用いて同型が確立される。